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Unity局部和世界坐标系相互转换的实现原理

article 2024/12/22 9:21:44

注：本篇是基于唐老师的学习视频做的一些理论实践，需要提前知道一些线性代数的基础知识，原视频链接：

8.数学基础知识学习说明_哔哩哔哩_bilibili

前期准备：

知识点①：

Unity中需要遵守的设定：

1、我们约定变换顺序为：缩放->旋转->平移。

2、我们约定旋转的顺序为：Z->X->Y。

知识点②：

1、基础变换矩阵的构成规则：

2、平移矩阵的定义：

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0 & tx \\ 0& 1& 0& ty\\ 0& 0& 1& tz\\ 0& 0&0 & 1 \end{bmatrix}$ 逆矩阵 $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -tx \\ 0& 1 & 0& -ty\\ 0& 0& 1 & -tz\\ 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

3、旋转矩阵的定义：

绕X轴旋转 $\beta$ 度：绕Y轴旋转 $\beta$ 度：绕Z轴旋转 $\beta$ 度：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0& cos\beta & -sin\beta &0 \\ 0& sin\beta & cos\beta &0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0& cos\beta & -sin\beta &0 \\ 0& sin\beta & cos\beta &0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0& cos\beta & -sin\beta &0 \\ 0& sin\beta & cos\beta &0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

因为旋转矩阵是正交矩阵，所以它的逆矩阵就是它的转置矩阵。

即：假设有旋转矩阵A，那么 $A^{-1}=A^{T}$

4、缩放矩阵的定义：

$A=\begin{bmatrix} kx & 0 & 0 & 0\\ 0 & ky & 0 & 0\\ 0 & 0 & kz & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 逆矩阵 $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1/kx & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/ky & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1/kz & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

局部坐标转世界：

我们需要明白一个概念，在3D空间中，假设有一个结点R存在一个子节点A，那么如果R就是坐标原点，A的局部坐标系就是世界坐标系。如果结点R存在旋转，平移等变换，那么A的局部坐标依旧不会变，R的变换会带动A的变换。那么最终的世界坐标满足关系式：

${A}'=M*A$

M代表R的变换矩阵，A代表R在原点时的世界坐标（即局部坐标），A'代表最终的世界坐标。

再根据知识点1，得到矩阵M=平移矩阵A×旋转矩阵B×缩放矩阵C

便有如下代码：

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class Test : MonoBehaviour
{
    public Transform targetTrans;
    private void Start()
    {
        Vector4 startPos = new Vector4(targetTrans.localPosition.x, targetTrans.localPosition.y, targetTrans.localPosition.z, 1);
        Matrix4x4 scaleMatrix = ScaleMatrix(transform.localScale.x, transform.localScale.y, transform.localScale.z);
        Matrix4x4 rotateMatrix = RotateYMatrix(transform.eulerAngles.y)*RotateXMatrix(transform.eulerAngles.x)*RotateZMatrix(transform.eulerAngles.z);
        Matrix4x4 translateMatrix = TranslateMatrix(transform.position.x, transform.position.y, transform.position.z);
        //按照缩放->旋转（按照Z->X->Y顺序旋转）->平移的变换顺序
        Vector4 resPos = translateMatrix * rotateMatrix * scaleMatrix * startPos;
        Debug.Log(string.Format("局部坐标转世界坐标={0}",resPos));
        Debug.Log(string.Format("调用UnityAPI的结果={0}",transform.TransformPoint(startPos)));
    }

    //缩放矩阵
    private Matrix4x4 ScaleMatrix(float x,float y,float z)
    {
        Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();
        targetMatrix.m00 = x;
        targetMatrix.m11 = y;
        targetMatrix.m22 = z;
        targetMatrix.m33 = 1;
        return targetMatrix;
    }

    //旋转矩阵(X轴)
    private Matrix4x4 RotateXMatrix(float angle)
    {
        Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();
        targetMatrix.m00 = 1;
        targetMatrix.m11 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m12 = -Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m21 = Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m22 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m33 = 1;
        return targetMatrix;
    }
    
    //旋转矩阵(Y轴)
    private Matrix4x4 RotateYMatrix(float angle)
    {
        Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();
        targetMatrix.m00 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m02 = Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m11 = 1;
        targetMatrix.m20 = -Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m22 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m33 = 1;
        return targetMatrix;
    }
    
    //旋转矩阵(Z轴)
    private Matrix4x4 RotateZMatrix(float angle)
    {
        Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();
        targetMatrix.m00 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m01 = -Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m10 = Mathf.Sin(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m11 = Mathf.Cos(angle * Mathf.Deg2Rad);
        targetMatrix.m22 = 1;
        targetMatrix.m33 = 1;
        return targetMatrix;
    }
    
    //平移矩阵
    private Matrix4x4 TranslateMatrix(float x,float y,float z)
    {
        Matrix4x4 targetMatrix = new Matrix4x4();
        targetMatrix.m03 = x;
        targetMatrix.m13 = y;
        targetMatrix.m23 = z;
        targetMatrix.m00 = 1;
        targetMatrix.m11 = 1;
        targetMatrix.m22 = 1;
        targetMatrix.m33 = 1;
        return targetMatrix;
    }
}

挂载脚本：