蓝桥杯 2024 国 B【选数概率】（AC）

题目描述

一个数组中有 $a$ 个 $1$，$b$ 个 $2$，$c$ 个 $3$。设 $P_{i,j}$ 表示在数组中随机选取两个数，其中一个数为 $i$，另一个数为 $j$ 的概率。比如 $P_{1,2}=\frac{ab}{C(a+b+c,2)}$，其中 $C(N,M)$ 为组合数，表示从 $N$ 个不同元素中任取 $M$ 个的方案数。

当 $a=\text{?},b=\text{?},c=\text{?}$ 时，满足 $P_{1,2}=\frac{517}{2091},P_{2,3}=\frac{2632}{10455},P_{1,3}=\frac{308}{2091}$，且 $a+b+c$ 最小。保证 $a+b+c$ 最小的解是唯一的。

你需要提交一个格式为 $a,b,c$ 的字符串。例如假设你计算的结果是 $a=12,b=34,c=56$，那么你需要提交的字符串是 12,34,56。

输入格式

这是一道结果填空题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

输出格式

这是一道结果填空题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

解题思路

已知 $P_{1,2}=\frac{ab}{C(a+b+c,2)}$，那么 $P_{1,3}=\frac{ac}{C(a+b+c,2)}$，$P_{2,3}=\frac{bc}{C(a+b+c,2)}$。

我们知道 $C_n^m=\frac{n!}{m!\cdot (n-m)!}$，那么 $C_n^2=\frac{n!}{2!\cdot (n-2)!}=\frac{n\times (n-1)}{2}$。

那么接下来，我们只需要去枚举 $a,b,c$ 即可得出答案。

AC_Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;

int calc(int x)
{
    return x * (x - 1) / 2;
}

bool equal(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
    int t = x1 / x2;
    if (x1 % x2)
        return false;
    return t * y2 == y1;
}

int main()
{
    for (int i = 1; i <= 200; ++ i )
        for (int j = 1; j <= 200; ++ j )
            for (int k = 1; k <= 200; ++ k )
                if (equal(i * j, calc(i + j + k), 517, 2091))
                    if (equal(j * k, calc(i + j + k), 2632, 10455))
                        if (equal(i * k, calc(i + j + k), 308, 2091))
                            cout << i << ',' << j << ',' << k << endl;
    return 0;
}