【数理统计】假设检验

假设检验的概念

【定义】$H_0$ 称为原假设，$H_1$称为对立假设，它们的内容相互对立。

使原假设 $H_0$ 得以接受的检验统计量的取值区域称为检验的接受域；使原假设 $H_0$ 被拒绝的检验统计量的取值区域称为检验的拒绝域。

【假设检验的两类错误】

奈曼-皮尔逊（Neyman-Pearson）原则：先控制犯 I 类错误的概率 $\alpha$（即显著性水平），然后再使犯 II 类错误的概率 $\beta$ 尽可能地小。

性质：

• $\alpha +\beta$ 不一定等于 1
• 在样本容量 $n$ 固定的情况下，$\alpha$ 小就导致 $\beta$ 大，$\beta$ 小就导致 $\alpha$ 大
• $\alpha$ 越大，越容易拒绝 $H_0$（接受 $H_1$）：
  • $\alpha$ 小时，拒绝 $H_0$（接受 $H_1$）$\to$ $\alpha$ 大时，拒绝 $H_0$（接受 $H_1$）
  • $\alpha$ 大时，接受 $H_0$（拒绝 $H_1$）$\to$ $\alpha$ 小时，接受 $H_0$（拒绝 $H_1$）

【假设检验的步骤】

• 根据实际问题的要求，提出原假设 $H_0$ 和对立假设 $H_1$
• 给定显著性水平 $\alpha$ 和样本容量 $n$
• 确定检验统计量以及拒绝域的形式
• 按 P { 当 H 0 为真拒绝 H 0 } ≤ α P \{ 当 H_0 为真拒绝 H_0 \} \leq \alpha P{当H0​为真拒绝H0​}≤α 求出拒绝域（这种只对 I 类错误的概率加以控制而不考虑 II 类错误的概率的检验称为显著性检验）
• 取样，根据样本观察值作出决策，是接受 $H_0$ 还是拒绝 $H_0$

单个总体正态分布的假设检验

设 $X_1,X_2,...,X_n$ 是从正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 中抽取的简单随机样本。

经证明，正态分布总体参数的假设检验方法都是一定条件下 $\beta$ 最小的显著性检验，称为最优检验。

正态总体均值 $\mu$ 的假设检验

（1）${\sigma }^2$ 已知，关于 $\mu$ 的检验（$U$ 检验）

已知 ${\sigma }^2$，检验问题为

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$$

原假设成立时，检验统计量为

$$U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

拒绝域的形式为

$$|u|=\left|\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\right|>u_{\alpha /2}$$

或

$$-u_{\alpha /2}<\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}<u_{\alpha /2}$$

（2）${\sigma }^2$ 未知，关于 $\mu$ 的检验（$t$ 检验）

未知 ${\sigma }^2$，检验问题为

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$$

原假设成立时，考虑 $S^2$ 为 ${\sigma }^2$ 的无偏估计，检验统计量为

$$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

拒绝域的形式为

$$|t|=\left|\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\right|>t_{\alpha /2}(n-1)$$

或

$$-t_{\alpha /2}(n-1)<\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}<t_{\alpha /2}(n-1)$$

正态总体方差 ${\sigma }^2$ 的假设检验

（1）$\mu$ 已知，关于 ${\sigma }^2$ 的检验（${\chi }^2$ 检验）

已知 $\mu$，检验问题为

$$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$$

原假设成立时，检验统计量为

$${\chi }^2=\frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$$

拒绝域的形式为（注意要对两式的解集取并集）

$${\chi }^2>{\chi }_{\alpha /2}^2(n)或{\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)$$

（2）$\mu$ 未知，关于 ${\sigma }^2$ 的检验（${\chi }^2$ 检验）

已知 $\mu$，检验问题为

$$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$$

原假设成立时，考虑 $S^2$ 为 ${\sigma }^2$ 的无偏估计，检验统计量为

$${\chi }^2=\frac{n-1}{{\sigma }_0^2}{S}^2\sim {\chi }^2(n-1)$$

拒绝域的形式为（注意要对两式的解集取并集）

$${\chi }^2>{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)或{\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)$$

两个总体正态分布的假设检验（略）

（略）

例题