利用代码程序计算数学函数的泰勒展开式（MATLAB推导函数泰勒展开式+Python推导函数泰勒展开式）

以下代码均经过博主验证

一、Python推导函数泰勒展开式

在 Python 中，可以借助 sympy 库来推导函数的泰勒展开式，以下是一个示例代码，以推导 sin(x) 函数的泰勒展开式为例来说明步骤：

1. 安装 sympy 库（如果还未安装的话）

如果使用的是 pip 包管理工具，可以在命令行执行以下命令安装：

pip install sympy -i https://pypi.mirrors.ustc.edu.cn/simple

2. Python 代码示例

python

import sympy

# 定义变量
x = sympy.Symbol('x')
# 定义函数，这里以sin(x)为例
func = sympy.sin(x)
# 求泰勒展开式，参数依次为：函数、展开的变量、展开的点、展开的阶数
taylor_expansion = func.series(x, 0, 10)
print(taylor_expansion.removeO())

在上述代码中：

• 首先通过 sympy.Symbol('x') 定义了符号变量 x，这是后续进行符号运算的基础。
• 接着定义了想要展开的函数，这里定义了 sympy.sin(x)，你可以将其替换为其他你想要展开的函数，比如 sympy.cos(x)、sympy.exp(x) 等等。
• 然后调用 series 方法来求泰勒展开式，它接受几个关键参数：
  • 第一个参数是要展开的函数（这里就是前面定义的 func）。
  • 第二个参数指定展开的变量，也就是基于哪个变量进行展开（这里是 x）。
  • 第三个参数是展开的点，也就是在哪个值附近展开，这里 0 表示在 x = 0 附近展开（通常称为麦克劳林展开，是泰勒展开在展开点为 0 时的特殊情况）。
  • 第四个参数是展开的阶数，示例中设置为 10，表示展开到 x 的 10 阶项。
• 最后，因为返回的结果中包含了表示高阶无穷小的 O(x**10) 这样的形式，调用 removeO() 方法将其去除，得到更简洁的泰勒展开式的表达式呈现。

你可以根据实际需求，修改函数以及相关参数，比如改变展开的点、展开的阶数等，来获取不同情况下函数的泰勒展开式。

3.案例如下

import sympy

# 定义变量
x = sympy.Symbol('x')
# 定义函数，这里以sin(x)为例
func = sympy.sin(x)+sympy.cos(x)
# 求泰勒展开式，参数依次为：函数、展开的变量、展开的点、展开的阶数
taylor_expansion = func.series(x, 0, 10)
print(taylor_expansion.removeO())

推导出的泰勒展开式

x**9/362880 + x**8/40320 - x**7/5040 - x**6/720 + x**5/120 + x**4/24 - x**3/6 - x**2/2 + x + 1

二、MATLAB推导函数泰勒展开式

在 MATLAB 中，可以使用 taylor 函数来推导函数的泰勒展开式，以下是具体的使用方法及示例：

1. 基本语法

taylor(f,x,a,'Order',n)

• f：表示需要进行泰勒展开的函数表达式，可以是一个符号函数（通过 syms 定义符号变量后构建的函数）。
• x：指定展开所依据的变量。
• a：展开的中心点，也就是在该点附近进行泰勒展开，当 a = 0 时，就是常见的麦克劳林展开。
• 'Order',n：这是可选参数，用于指定泰勒展开的阶数为 n（即展开到 x 的 n-1 次幂项），如果不写这个参数，MATLAB 会使用默认的阶数。

2. 示例代码

以下以推导函数 sin(x) 在 x = 0 附近（麦克劳林展开）的泰勒展开式为例：

matlab

% 定义符号变量
syms x;
% 定义函数
f = sin(x);
% 求泰勒展开式，这里求到5阶（即展开到x的4次幂项）
taylor_expansion = taylor(f,x,0,'Order',5);
disp(taylor_expansion);

在上述代码中：

• 首先通过 syms x 定义了符号变量 x，这是进行符号运算的基础，后续定义的函数都基于这个符号变量。
• 接着定义了函数 f 为 sin(x)，你可以将其替换成其他想要展开的函数，比如 cos(x)、exp(x) 等。
• 然后调用 taylor 函数来求泰勒展开式，这里指定了展开的中心点 a = 0，以及展开的阶数为 5，最后将得到的泰勒展开式结果输出显示。

如果想改变展开的函数、展开的中心点或者展开的阶数等，只需要修改对应代码中的参数即可。例如，若要推导 cos(x) 在 x = pi/4 附近展开到 8 阶的泰勒展开式，可以这样写：

matlab

% 定义符号变量
syms x;
% 定义函数
f = cos(x);
% 求泰勒展开式，在x = pi/4附近展开到8阶
taylor_expansion = taylor(f,x,pi/4,'Order',8);
disp(taylor_expansion);

通过上述方式，就可以方便地利用 MATLAB 推导不同函数在不同条件下的泰勒展开式了。

案例如下

% 定义符号变量
syms x;
% 定义函数
f = tan(x);
% 求泰勒展开式，在x = pi/4附近展开到8阶
taylor_expansion = taylor(f,x,0,'Order',8);
disp(taylor_expansion);

推导结果如下

(17*x^7)/315 + (2*x^5)/15 + x^3/3 + x

可以对比正确结果，完全无误