指数函数与累积效应——数学模型
我们都了解指数增长的可怕之处，在经典的数学故事里，那个运气不好又无知的国王答应了在围棋盘的第一个格子里放一粒稻米，在后面的每一个格子里放前一个格子内两倍数量的稻米，但没等到放完整个棋盘，国家就破产了。实际上，想要放满整个棋盘共
18
×
18
=
324
18\times 18=324
18×18=324个格子，所需要的稻米总数为
2
0
+
2
1
+
2
2
+
.
.
.
+
2
323
=
2
324
−
1
2^0+2^1+2^2+...+2^{323}=2^{324}-1
20+21+22+...+2323=2324−1
这个数字在十进制下大约有多大呢？可以用以10为底的对数函数来计算其十进制下的数量级：
lg
(
2
324
−
1
)
≈
lg
(
2
324
)
=
324
×
lg
2
≈
97.5
\lg(2^{324}-1)\approx \lg(2^{324})=324\times \lg2\approx 97.5
lg(2324−1)≈lg(2324)=324×lg2≈97.5
所以在十进制下表示
2
324
−
1
2^{324}-1
2324−1需要98位数，写出来是下面这个数字：
6.835158514946912
×
1
0
97
6.835158514946912\times 10^{97}
6.835158514946912×1097
假设优质稻米大约每粒重1/12克，那么
2
324
−
1
2^{324}-1
2324−1粒稻米的重量约为
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 65: …8\times10^{90}(\̲m̲b̲o̲x̲{吨})
根据统计年鉴，2017年中国人均粮食消耗量为130.1千克，按照2017年中国人口总数139008万人计算，中国粮食消耗总量约为1.80亿吨，就算将这些消耗的粮食全部当作稻米计算，上面这么多稻米也至少可以养活
2.19
×
1
0
91
2.19\times10^{91}
2.19×1091个中国人。
自然界中的很多事物在生长过程中都遵循瞬时增长与其瞬时状态量成正比，你如果在生物实验室观察过培养皿里的菌落的初期生长，就会非常认同这一点。但是奇怪的是，无论如何都不可能有事物的量随时间一直呈指数增长，否则用不了多久，地球就承载不了这么多资源了。
实际上，对于种群数量来说，方程
f
′
(
t
)
=
λ
f
(
t
)
,
∀
t
∈
R
f'(t)=\lambda f(t),\forall t\in R
f′(t)=λf(t),∀t∈R在每个时刻确实都成立，但是其系数
λ
\lambda
λ并非是一成不变的常数，而是随着时间变化的常量
λ
(
t
)
\lambda(t)
λ(t)。而且对于种群生长，我们可以想象：随着时间的推移，有限的资源越来越紧张，种群中的竞争越来越激烈，那么增长的速度也就会越来越放缓，直到降为0。因此可认为
λ
(
t
)
=
μ
(
M
−
f
(
t
)
)
\lambda(t)=\mu(M-f(t))
λ(t)=μ(M−f(t))，其中
M
M
M为环境中所能容纳的
f
(
t
)
f(t)
f(t)的上限，
M
−
f
(
t
)
M-f(t)
M−f(t)表征了还有多少空间提供给种群生长，
μ
>
0
\mu>0
μ>0为比例系数。于是可得
f
′
(
t
)
=
μ
(
M
−
f
(
t
)
)
f
(
t
)
f'(t)=\mu(M-f(t))f(t)
f′(t)=μ(M−f(t))f(t)
根据方程的假设，
f
(
t
)
∈
(
0
,
M
)
f(t)\in(0,M)
f(t)∈(0,M)，于是有
f
′
(
t
)
(
M
−
f
(
t
)
)
f
(
t
)
=
μ
\frac{f'(t)}{(M-f(t))f(t)}=\mu
(M−f(t))f(t)f′(t)=μ
不难得到
(
l
n
f
(
t
)
M
−
f
(
t
)
)
′
=
M
μ
\bigg(ln\frac{f(t)}{M-f(t)}\bigg)'=M\mu
(lnM−f(t)f(t))′=Mμ
进而可得
f
(
t
)
=
M
1
+
C
e
−
M
μ
t
,
∀
t
∈
R
,
C
=
M
f
(
0
)
−
1
f(t)=\frac{M}{1+Ce^{-M\mu t}},\forall t\in R,C=\frac{M}{f(0)}-1
f(t)=1+Ce−MμtM,∀t∈R,C=f(0)M−1
当
f
(
0
)
=
1
,
M
=
10
,
μ
=
0.1
f(0)=1,M=10,\mu=0.1
f(0)=1,M=10,μ=0.1时，
C
=
9
,
M
μ
=
1
C=9,M\mu=1
C=9,Mμ=1，进而
f
(
t
)
=
10
1
+
9
e
−
t
f(t)=\frac{10}{1+9e^{-t}}
f(t)=1+9e−t10
其函数图像
从图像上看，这个函数在一开始增长速度逐渐加快，后面增长速度逐渐放缓，并且随着时间的增加，越来越接近y=10这条直线。所以，中间必有一处是增长速度最快的时刻，实际上
f
′
(
t
)
=
μ
(
M
−
f
(
t
)
)
f
(
t
)
≤
μ
(
(
M
−
f
(
t
)
)
+
f
(
t
)
2
)
2
=
μ
M
2
4
f'(t)=\mu(M-f(t))f(t)\le \mu\bigg(\frac{(M-f(t))+f(t)}{2}\bigg)^2=\frac{\mu M^2}{4}
f′(t)=μ(M−f(t))f(t)≤μ(2(M−f(t))+f(t))2=4μM2
其中“=”成立当且仅当
M
−
f
(
t
)
=
f
(
t
)
M-f(t)=f(t)
M−f(t)=f(t)，即
f
(
t
)
=
M
2
f(t)=\dfrac{M}{2}
f(t)=2M时。这其实是从数学角度证明了生物学中的一个重要定律：种群规模在极限规模的一半处增长速度最快。
利用这个原理，可以在种群接近极限规模之前，通过观察种群数量来预测未来的极限规模。一方面，确切地说，如果通过观察 [ 0 , t 1 ] [0,t_1] [0,t1]之间的观测点，观察到期间单位时间平均增长率先增大后减小，且在 t = t 0 t=t_0 t=t0处（这里 t 0 ∈ ( 0 , t 1 ) t_0\in(0,t_1) t0∈(0,t1)，但 t 1 < 2 t 0 t_1<2t_0 t1<2t0）达到增长率的最大值 f m a x ′ f'_{max} fmax′，则根据上述方程，种群的极限规模应为 2 f m a x ′ μ 2\sqrt{\frac{f'_{max}}{\mu}} 2μfmax′；另一方面，根据上文推导，种群的极限规模也可以表示为 2 f ( t 0 ) 2f(t_0) 2f(t0)。一般情况下，由于实验和观察误差，并不一定有 2 f m a x ′ μ = 2 f ( t 0 ) 2\sqrt{\frac{f'_{max}}{\mu}}=2f(t_0) 2μfmax′=2f(t0)，于是可以用二者的均值 f m a x ′ μ + f ( t 0 ) \sqrt{\frac{f'_{max}}{\mu}}+f(t_0) μfmax′+f(t0)作为极限规模的预测值。