【视觉惯性SLAM：SLAM中常用的数学基础知识】

SLAM（Simultaneous Localization and Mapping, 同时定位与建图）涉及复杂的几何计算和空间变换，因此对数学基础的掌握尤为重要。齐次坐标和三维空间中的刚体旋转是 SLAM 中的两个核心数学概念。下面从齐次坐标的意义、三维刚体旋转的几种表达方式，以及 SLAM 中常用的线性代数库（如 Eigen）的应用详细展开。

齐次坐标

为什么要用齐次坐标

在SLAM中，几何计算广泛涉及点、直线、平面、空间变换等基本元素，使用齐次坐标能够简化这些计算的表达，并增加对无穷远点和线的处理能力。

齐次坐标的定义

齐次坐标通过增加一个额外的维度，使得𝑛维空间中的点可以用𝑛+1维的向量表示。例如：

通常，通过归一化，取𝑤=1或𝑤≠0的任意值来代表实际坐标。

使用齐次坐标的优点

三维空间中刚体旋转的几种表达方式

在 SLAM 中，刚体旋转描述了相机或机器人在三维空间中的运动。以下是几种常见的刚体旋转表达方式及其特点。

旋转矩阵

四元数

旋转向量（轴-角表示）

欧拉角

总结

刚体旋转的几种表示方式各有优缺点，SLAM 系统通常结合使用：

• 前端跟踪时使用 旋转矩阵，因其直观，适合特征点变换。
• 后端优化中使用 四元数 或 旋转向量，因其存储效率高、无奇异性。
• 插值时使用四元数

矩阵线性代数运算库 Eigen

Eigen 是一个高效的 C++ 线性代数库，在 SLAM 中应用广泛。

• 基本功能
  • 矩阵运算：支持矩阵的加减乘、求逆、特征值分解等。
  • 几何模块：支持旋转矩阵、四元数、欧拉角等操作。
  • 优化功能：支持线性最小二乘、非线性优化。
• SLAM 中的应用
  • 坐标变换：Eigen 提供易于使用的矩阵和向量类型，方便实现刚体变换。
  • 旋转与平移：Eigen 的 Geometry 模块能直接处理旋转矩阵和四元数的转换。
  • 优化问题：Eigen 与 Ceres、G2O 等优化库结合使用，用于位姿图优化。

总结

在 SLAM 系统中

• 齐次坐标简化了点、直线和平面的表示，统一了旋转和平移的数学表达。
• 刚体旋转的多种表示方式（旋转矩阵、四元数、旋转向量等）分别适用于不同场景。
• Eigen 等线性代数库提供了高效的数学运算支持，是 SLAM 实现的重要工具。

掌握这些数学基础，有助于理解 SLAM 中的几何运算和优化算法，同时也为 SLAM 系统的开发和调试提供了理论保障。