AR 模型的功率谱

功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）的表达式是从信号的自相关函数和系统的频率响应推导出来的，特别是对于 AR（Auto-Regressive，自回归）模型。以下是推导的过程：

1. AR 模型的定义：

一个 $p$-阶 AR 模型定义为：
$$x(n)=\sum _{k=1}^p{a}_{k}x(n-k)+w(n)$$
其中：

• $a_k$ 是 AR 模型的系数；
• $w(n)$ 是白噪声序列，满足 $E[w(n)]=0$，$E[w(n)w(m)]={\sigma }_w^2\delta (n-m)$。

2. 信号的 Z 变换：

对模型两边应用 Z 变换（假设初始条件为 0）：
$$X(z)=\sum _{k=1}^p{a}_k{z}^{-k}X(z)+W(z)$$
整理得到：
$$X(z)=\frac{W(z)}{1-{\sum }_{k=1}^p{a}_k{z}^{-k}}$$
这表示 $x(n)$ 是由白噪声 $w(n)$ 经过一个系统滤波得到的，系统的传递函数为：
$$H(z)=\frac{1}{1-{\sum }_{k=1}^p{a}_k{z}^{-k}}$$

3. 功率谱密度的定义：

信号 $x(n)$ 的功率谱密度定义为：
$$S_x(f)=\underset{N\to \infty }{\lim }E\left[|X(f){|}^2\right]$$
通过 Wiener-Khinchin 定理，功率谱密度也是信号自相关函数 $r(k)$ 的傅里叶变换：
S x ( f ) = F { r ( k ) } S_x(f) = \mathcal{F}\{r(k)\} Sx​(f)=F{r(k)}

结合白噪声的性质和滤波器系统，功率谱密度可以写为：
$$S_x(f)={\sigma }_w^2\cdot |H(f){|}^2$$

4. 频率响应 $H(f)$：

将 $H(z)$ 表达为频率的函数 $f$，使用 $z=e^{j2\pi f}$ 代入：
$$H(f)=\frac{1}{1-{\sum }_{k=1}^p{a}_k{e}^{-j2\pi fk}}$$
因此，$|H(f){|}^2$ 为：
$$|H(f){|}^2=\frac{1}{{\left|1-{\sum }_{k=1}^p{a}_k{e}^{-j2\pi fk}\right|}^2}$$

5. AR 模型的功率谱：

最终功率谱密度为：
$$S_x(f)=\frac{{\sigma }_w^2}{{\left|1-{\sum }_{k=1}^p{a}_k{e}^{-j2\pi fk}\right|}^2}$$
对于二阶 AR 模型（$p=2$）：
$$S_x(f)=\frac{{\sigma }_w^2}{{\left|1-a_1{e}^{-j2\pi f}-a_2{e}^{-j4\pi f}\right|}^2}$$

6. 推导总结：

功率谱密度 $S_x(f)$ 的核心是利用 AR 模型的滤波器特性：

1. $x(n)$ 是白噪声 $w(n)$ 通过一个滤波器得到的；
2. 滤波器的频率响应 $H(f)$ 由 AR 系数 $a_k$ 确定；
3. 白噪声的功率谱是常数 ${\sigma }_w^2$，经过滤波器后功率谱形状由 $|H(f){|}^2$ 决定。