【代数学6】基于数域筛法对大整数进行分解

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随着计算机技术的发展和数学理论的进步，诸如试除法、Pollard’s rho算法、代数群因子分解算法、二次筛法和数域筛法等多种大整数分解算法相继被提出。在本实验中，我们将专注于数域筛法（Number Field Sieve, NFS），并以此方法对指定的大整数N进行分解。

大整数的分解在密码学领域扮演着至关重要的角色，尤其是在各种加密算法的安全性评估中。我们可以从以下几个方面理解大整数分解在密码学中的应用：

• RSA加密算法：RSA算法的核心安全性依赖于大整数质因数分解的难度。在RSA算法中，生成公钥和私钥的过程涉及到大整数的分解。如果攻击者能够高效地分解出私钥中的大整数，就可能轻易地破解RSA加密的信息。

• 椭圆曲线密码学（ECC）：ECC是基于椭圆曲线数学原理的加密方法，其安全性同样依赖于大整数分解的难度。

• 素性测试：在密码学应用中，需要生成足够大的素数以确保加密算法的安全性。因此，大整数分解算法在素性测试中发挥着重要作用，以确保所生成的素数不仅足够大，而且难以被分解。

• 数字签名：数字签名技术用于验证数字信息的真实性和完整性。它通常采用基于大整数分解难度的公钥密码学算法。

该大整数n定义如下：

n=1234268228312430759578090015472355712114804731217710966738223

本实验的目标是利用数域筛法对上述大整数N进行分解，并详细阐述其基本原理和分解过程。通过这个过程，我们可以更深入地理解数域筛法的工作原理及其在密码学中的应用价值。

1. 实验分析

在本实验中，我们将分析和执行大整数N的分解，其中N为一个61位的十进制数。由于其位数较大，这要求我们应用相对复杂的分解算法。目前，大整数分解的主要算法包括：

• 试除法：这是最基本的分解方法，适用于寻找小质因子，但对于如此大的整数，其效率极低。

• Pollard-Rho算法：这是一种基于随机数的算法，主要适用于40位以下的整数。它通过生成随机序列来寻找整数的因子，但对于61位数来说，效率通常不是很高。

• 椭圆曲线分解算法（ECM）：由Lenstra于1985年提出，这种算法适用于寻找介于$10^{10}$到$10^{60}$范围内的素因子，因此对于我们的目标整数N是合适的。

• Quadratic Sieve算法：这是一种基于平方剩余的分解算法，适用于处理100位以下的整数。其核心在于利用平方剩余的特性来找到整数的因子。

• Number Field Sieve算法：作为一种高效的分解方法，适用于处理100位以上的整数。它利用数域中的平方剩余来寻找整数的因子。Number Field Sieve算法的核心在于将大整数分解问题转化为数域中的问题，利用数域的特性来寻找解决方案。这种方法在处理非常大的整数时特别有效。

由于我们的目标整数N是61位的，它处于ECM算法、Quadratic Sieve算法和Number Field Sieve算法的适用范围之内。然而，考虑到N的大小，Number Field Sieve算法是更合适的选择。这是因为：

• ECM算法虽然可以处理类似大小的整数，但更适合于寻找单个较大的素因子，而不是完全分解一个如此大的整数。

• Quadratic Sieve算法在处理接近或超过100位的整数时，效率会大幅降低，尤其是当目标整数没有小的素因子时。

• 相比之下，Number Field Sieve算法在处理超过100位的大整数时显示出更高的效率和适用性。虽然N略低于100位，但其复杂度和特性使得Number Field Sieve算法成为最佳选择。

在接下来的实验部分，我们将深入探究Number Field Sieve算法的具体工作原理，并应用它来分解整数N。这包括理解算法的数学基础、实现步骤和计算过程，以及如何将其应用于实际的大整数分解问题中。通过这种方式，我们不仅能够有效地解决实验问题，还能深入理解这一先进算法在现代密码学中的重要应用。

2. 数域筛法

2.1 数域筛法的思想

数域筛法（Number Field Sieve, NFS）是一种高效的大整数分解算法，其基本的思想是寻找合适的多项式$f$和整数$m$，以及构建和解析数对(a, b)的集合S。这一过程涉及到复杂的数学运算和代数结构，是数域筛法在大整数分解中高效性的关键所在。通过这一方法，即使是非常大的整数，也可以在可接受的时间内被有效地分解。

对于要分解的整数$n$，数域筛法的基本目标是找到两个整数$x$和$y$，满足$x^2\equiv y^2(modn)$。然后通过计算最大公约数$\gcd (x-y，n)$ 来确定n的因子，如果$\gcd (x-y，n)=1$，则表示分解失败，否则，我们就找到了$n$的两个非平凡因子。数域筛法的独特之处在于如何找到这样的$x$和$y$。

数域筛法的步骤可以概括如下：

(1)构造代数数域。选择一个次数为$d>1$的首一不可约多项式$f$和一个整数$m$，使得$f(m)\equiv 0(modn)$。设$\alpha$是$f$的一个根，于是得到扩域$K=Q(\alpha )$，作映射$\phi :Z[\alpha ]\to Z\text{/}nZ$，由$\alpha \to (mmodn)$诱导出来。

(2)找一个数对$(a，b)$的非空集合S，满足以下条件:

i) 对所有$(a，b)\in S$，有$\gcd (a，b)=1$;

ii) ${\prod }_{}^{}(a，b)\in S(a+bm)$是$Z$中的平方数;

iii) ${\prod }_{}^{}(a，b)\in S(a+b\alpha )$是$Z[\alpha ]$中的平方数。

(3)令$x\in Z$是ii)中数的平方根，$\beta \in Z[\alpha ]$是第二步中iii)中数的平方根，令$y\in Z$适合$(ymodn)=\phi (\beta )$，那么我们得到$y^2\equiv x^{2}modn$。最终，通过计算$\gcd (x-y,n)$ 算出$n$的因子。

这种方法在实际操作中需要大量的计算，但在现代计算机的帮助下，对于特定类型的大整数，数域筛法可以在合理的时间内找到因子。

2.2 算法复杂度

在数论中，一般数域筛分(General Number Field Sieve，GNFS)是已知的对大于$10^{100}$的整数进行因式分解的最有效的经典算法。其主要思想是对简单有理数筛法（如二次筛法）进行改进和推广，使之能够分解除了质数幂之外的任何复合数。这种筛法在数域上进行操作，因此得名。数域筛法分为两种：特殊数域筛法（Special Number Field Sieve, SNFS）和一般数域筛法（General Number Field Sieve, GNFS）。特殊数域筛法适用于分解某些特殊形式的数，而一般数域筛法则可以分解几乎所有类型的复合数。

分解一个整数n(包括$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$比特)的复杂度为

$$\exp \left(\left(\sqrt[3]{\frac{64}{9}}+o(1)\right)(\ln n{)}^{\frac{1}{3}}(\ln \ln n{)}^{\frac{2}{3}}\right)=L_n\left[\frac{1}{3},\sqrt[3]{\frac{64}{9}}\right]$$

其中 $ln$ 是自然对数。它是特殊数域分解算法的推广，后者只能分解某种特殊形式的数，而一般数域筛法可以分解除质数幂以外的任何数（质数幂对于根号分解是微不足道的）。

• 光滑数的角色：在使用数域筛法分解大整数n时，核心在于搜索"光滑数"，即仅包含小质因数的数。对于简单的有理数筛法，如二次筛法，需要搜索的光滑数的级别大致是 $n^{\frac{1}{2}}$ 。而对于通用数域筛法，搜索的是次指数级大小的光滑数，即大小约为$n^{\epsilon }$（其中 $\epsilon$ 是一个小于1的正数）。

• 次指数平滑数字的优势：次指数级大小的光滑数相对较小，因此更容易通过筛法找到。这是数域筛法高效性的关键。小质数因子的数更容易通过筛选过程被识别和利用，从而加速了整个分解过程。

• 计算复杂性：虽然数域筛法在理论上非常高效，但它在实际操作中相当复杂。相较于简单的有理数筛法，数域筛法需要进行更为复杂的数域计算和因式分解。这种复杂性源于算法中涉及的代数数域和多项式运算。

综上所述，数域筛法之所以在大整数分解中表现出卓越的效率，是因为它利用了数域中光滑数的特性，并通过复杂的代数运算实现了对大型复合数的有效分解。尽管其计算过程复杂，但在现代计算机的帮助下，它已成为分解大整数的主要方法之一。

2.3 数域筛法的一般步骤

一般数域筛法（GNFS）是目前用于大整数分解最有效的算法之一，其复杂性和精妙的算法设计使其成为数论和计算数学领域的一个重要研究课题。这个过程主要包括以下几个关键步骤，每个步骤都具有其独特的挑战：

1、多项式选择：这是数域筛法中至关重要的一步。选择合适的多项式直接影响着算法的效率和最终的计算时间。多项式的选择需要满足特定的代数性质，以便于后续步骤中有效生成光滑数。这一步骤的复杂性在于需平衡多项式的代数性质和计算效率。

2、筛选数对：在这一步中，目标是在给定的区域内找到大量满足特定条件的整数对$(a,b)$。这些条件通常涉及到$a+bm$和多项式$F(a,b)$的光滑性，其中$F(a,b)$是$a+b\alpha$的范数。筛选出的满足条件的数对称为"关系"。这一步骤是最耗时的部分，因为它需要大量的数学运算和检验来确定数对是否符合条件。

3、求解线性方程组：一旦收集到足够的关系，下一步是解一个大型的稀疏线性方程组。这个方程组的解将用于构建满足$x^2\equiv y^2(modn)$条件的$x$和$y$。求解这样的线性方程组同样是一个计算密集型的过程，需要高效的算法和大量的计算资源。

4、求解代数数的平方根：最后一步是在数域中找到特定代数数的平方根。这个过程涉及到复杂的代数运算，其难度在于保持精确性和计算效率的平衡。

每一步都是数域筛法中的关键环节，且每一步的优化都可能对算法的整体效率产生重大影响。这些步骤不仅在理论上具有挑战性，而且在实际的计算实现上也同样具有挑战性，需要精妙的算法设计和高效的计算实现。

多项式选择

多项式选择在数域筛法中扮演着至关重要的角色，它直接影响着算法的效率和最终的运行时间。理想的多项式不仅能够增加生成光滑数的概率，还能提高整个筛选过程的效率。以下是多项式选择的两个关键属性及其对筛法效率的影响：

1、多项式的大小：这指的是多项式取值的绝对值大小，主要反映在多项式系数的大小上。在数域筛法中，较小的多项式有助于生成更多的光滑数。因此，在选择多项式时，应尽可能地减小其各个系数的大小。小系数的多项式在筛选过程中会产生较小的数值，从而提高其成为光滑数的可能性。

2、多项式根的属性：多项式在模 $k^p$下的根的数量也是一个重要的考虑因素。根的数量越多，光滑数的生成概率越高。这是因为多根多项式在某些特定模数下可以更频繁地取到光滑数。在选择多项式时，寻找在特定模数下具有多个根的多项式是提高效率的关键。

尽管已经有多种方法被提出来优化多项式的选择，但这个问题依然存在挑战。多项式选择的过程往往需要依赖于经验判断、运气和耐心。目前的方法，如m基法及其改进版本，虽然比最初的方法更有效，但仍有改进的空间。实际上，找到既能最小化系数大小又能最大化根的数量的多项式是一个复杂的优化问题。

在实际操作中，数学家和计算机科学家常常需要使用启发式方法来搜索最佳多项式。这些方法可能涉及到对多项式的各种特性进行细致的分析，以及大量的试错过程。由于这个步骤对数域筛法的总体效率有显著影响，因此对多项式选择策略的优化仍然是当前研究的一个热点领域。

筛数对

在数域筛法中，筛选数对（sieving for pairs）是一个关键且耗时的步骤，其目的是在给定区间内寻找尽可能多的满足特定条件的整数对 $(a,b)$。这些条件主要涉及到两个方面：一是$a+bm$ ，二是 $F(a,b)$中超过光滑界 $B$ 的素因子的个数都需少于等于2个。满足这些条件的整数对被称为"关系"。筛选出足够多的关系对于构建后续的稀疏线性方程组至关重要。

接下来我们来详细探讨这个步骤的实施过程。

1、筛选数对：筛选出的关系数量直接影响后续线性方程组的构建和求解。更多的关系意味着更高的概率构建出有效的方程组，从而提高求解大整数分解的成功率。

2、筛选方法：目前主要有两种筛选方法，线性筛和格筛。

• 线性筛：这种方法按照一定的顺序（通常是逐行）在筛选区域中寻找满足条件的数对。虽然线性筛的实现相对简单，但其速度较慢，尤其是在处理大区域时。

• 格筛：格筛利用格（lattice）理论的特性进行筛选。首先，构造一个格以覆盖所需筛选的区域$L_{(q,r)}$，然后在格中寻找满足条件的数对。由于格中满足条件的数对通常比原始区域中的多，因此格筛的效率通常高于线性筛。

3、过度筛选和过滤：在筛选过程中可能会出现过度筛选的情况，即一些没有出现在其他关系中同时包含素理想的实例实际上是无关的，可以被排除掉。因此，在输出数对后，需要进行过滤以减少方程组的规模。这一过滤步骤对后续方程组的求解有着重要影响。

4、计算复杂度：数域筛法的计算复杂度是极高的，这在实际操作中得到了明显的体现。例如，RSA-768模数的分解就需要将筛选任务分配给上百台机器，并耗时两年多才能完成。单一机器（如具有2.2GHz主频和2GB随机存取储存器的AMD处理器）执行此类任务可能需要数百年的时间。

综上所述，筛选数对这一步骤在数域筛法中扮演着至关重要的角色。它不仅是算法中最耗时的部分，也直接影响着整个大数分解过程的效率和成功率。因此，优化筛选算法和提高过滤效率是提升数域筛法性能的关键。

线性方程组求解

在数域筛法的过程中，求解线性方程组是一个至关重要且耗时的步骤。这一步骤主要涉及到处理一个大规模的稀疏线性方程组，以找到行向量之间的线性相关性。这些线性相关性是用来构建满足 $x^2\equiv y^2(modn)$条件的整数对x和y，进而导出N的非平凡因子。以下是这个步骤的关键要素：

1、构造线性方程组：经过筛选和过滤步骤，我们能够得到一系列满足特定条件的关系。这些关系被用来构造一个大型的稀疏线性方程组。这个方程组通常由一个大矩阵表示，矩阵的行向量代表了筛选出的关系。

2、求解方法：求解这样的方程组通常采用特殊的算法，主要是因为矩阵的稀疏性质和大规模的特点。目前，主要有两种广泛使用的算法：兰索斯（Lanczos）算法和韦德曼（Wiedemann）算法。

• 兰索斯算法：这种方法的优点在于其具有较短的迭代序列，且迭代过程相对简单，不需要像Berlekamp-Massey步骤那样复杂且占用大量内存。

• 韦德曼算法：其优势在于能够运行在独立的集群上，每个迭代步骤不涉及矩阵与其转置的乘积，使得计算更加高效。

3、求解过程的效率：虽然这些方法已经非常高效，但求解线性方程组仍然是一个时间消耗很大的过程。随着硬件设备和算法的不断改进，这些方法有潜力被用来求解更大规模的稀疏线性方程组。

4、结果处理：求解出线性方程组后，我们得到多个解。通过对这些解进行适当的处理，可以得到满足 $x^2\equiv y^2(modn)$ 条件的整数对。这些整数对通常可以用来找到N的一个非平凡因子，从而实现对大整数N的分解。

综上所述，线性方程组的求解是数域筛法中一个关键且复杂的环节。它不仅需要处理大规模和稀疏的数据结构，还需要运用高效的算法来找到行向量间的相关性。这个步骤的成功执行对于最终分解大整数N至关重要。随着计算能力的提升和算法的优化，求解这类方程组的效率有望进一步提高。

代数域的平方根求解

在数域筛法中，求解代数数的平方根是一个关键且复杂的步骤，特别是在处理大整数分解时。代数数的平方根求解涉及到复杂的代数结构和运算，下面是几种主要的求解方法及其特点：

1、特殊情况下的求解方法：当 $\alpha$ 是代数整数且 $Z[\alpha ]$ 是唯一分解整环时，所有的 $a_i-b_i\alpha$ 可以分解为素元方幂的乘积。在这种情况下，如果能够容易地计算出 $Z[\alpha ]$ 的单位群的生成元，就可以类似于计算普通整数的平方根那样求出代数数的平方根。这种方法在特定条件下非常有效，但在一般数域筛法中的适用性有限。

2、牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种通用的求解代数数平方根的方法，它不受多项式次数奇偶性的限制。然而，这种方法在处理具有大系数的 $\beta$ 时可能会遇到困难。

3、J.M. Couveignes法：这是一种基于中国剩余定理的计算方法，主要适用于由奇数次多项式构造的数域。尽管这种方法有其优点，但也存在一些局限性。

4、Montgomery法：Montgomery提出的方法是从$<\gamma >$ 的素理想分解式出发，利用格基规约算法，通过一系列迭代计算出代数平方根。这种方法的时间复杂度与 s（素理想的数量）成线性关系，而且对数域的限制较少，适用范围更广。

5、Phong Nguyen的改进：Phong Nguyen对Montgomery方法进行了改进，进一步降低了该方法的时间复杂度，使其成为当前相对较优的求解代数数平方根的方法。

总体而言，求解代数数的平方根是数域筛法中的一个高度技术性和复杂性步骤。尽管目前有多种有效的方法，但每种方法都有其特定的适用条件和限制。随着代数数论和计算数学的进一步发展，这些方法有望得到更多的优化和改进。

3. 数域筛法分解大整数实现

本次实验选择分解的数为 1234268228312430759578090015472355712114804731217710966738223，实验基本流程为：

3.1 参数准备

首先对实验的参数进行设定，包括待分解大整数、因子基大小、代数因子基的大小，选择的多项式的幂次等。

其中，n表示待分解的大整数，d表示选择多项式的幂次，depth表示深度，ub_rat_factor_base表示有理因子基数的上限，ub_alg_factor_base表示代数因子基数的上限，ub_quad_character_base表示Quadratic Character Base的上限，a_lb表示整数对(a,b)中a的下限，a_ub表示a的上限，b_lb表示b的下限，b_ub表示b的上限。

3.2 生成多项式

构造代数数域。找一个次数为$d>1$的首1不可约多项式$f$和整数$m$，使$f(m)\equiv 0(modn)$。数域筛法中，当$f$为首一时，由m基法得到$m \approx N^{\frac{1}{d}}\ \ $，通过推导可以得出多项式$f$的幂次：

$$d={\left(\left(3^{\frac{1}{3}}+o(1)\right)\frac{\log n}{\log \log n}\right)}^{\frac{1}{3}},n>2^{2^2}>1.$$

代入大整数N，有$d=4$。所以生成的$m=1149850348679217$

生成一个整数域下的多项式环，然后调用函数 BaseMExpansion(n,m) 来生成一个多项式f。

生成的多项式 f 会被转换为多项式环 polynomial_ring 中的一个多项式对象 f_check，并输出。如果 f_check 不是首项系数为 1（monic）或者不是不可约多项式，则表示该多项式不符合要求，会引发一个 AssertionError 异常。

BaseMExpansion函数利用辗转相除法求出多项式的系数，保证最高次的多项式的系数是1.

然后计算素因子基，代数因子基，计算 quadratic characters

从2开始，按照顺序依次生成素数，参数lenRatFactorBase为最初定义的有理因子基的个数

代数因子基由多项式和多项式次数生成，最终生成个数由参数LenAlgFactorBase确定。

获取二次剩余的基，也就是Quadratic Character Base。函数的输入包括多项式 f，以及代数因子基（Algebraic Factor Base）alg_factor_base。对于代数因子基中的每个质数，将其加入 usedPrimes 集合中。从小到大遍历所有质数，对于每个质数 currentPrime，如果它已经被使用过了（即在 usedPrimes 集合中），则跳过。否则，遍历所有 s，如果 s 是 currentPrime 的二次剩余，并且当前已经找到的二次剩余个数不超过 d，则将其加入结果列表 result 中。如果已经找到 d 个二次剩余，则退出遍历。

3.3 筛选平滑数对

首先定义一个函数get_factors(numA,algebraic=False)，用于对给定的整数 numA 进行因数分解。如果 algebraic 参数为 True，则使用代数因子基进行因数分解，否则使用有理因子基进行因数分解。函数返回一个二元组，第一个元素是 numA 的因数分解的结果，以元组的形式表示，其中每个元素表示一个质因子及其指数；第二个元素表示是否已经完全分解了 numA，即 numA 是否已被分解为质数的乘积。

使用筛法来确定整数对（a，b）。按照 NFS 的思想，(a, b) 满足 a+b*m （m 为多项式 f 在 Zn 的域上的根）和 a+bφ（φ为 f 的复根)在素因子基和代数因子基上光滑。筛选时，还要确定每个素数（有理数和代数）的阶数。同时，需要确定在 quadratic characters 基上的素理想 (s, q) 的 legendre(a+b*s/q)的幂次。

3.4 线性方程组求解

首先利用GF(2)函数创建了一个有限域F2，该域中元素只有0和1。在有限域中创建了一个矩阵M，矩阵的大小为元组的数量乘以矩阵r_mat的列数，M矩阵的元素来自于GF(2)有限域，tuples中的每一个元组看作是M矩阵的一行，而矩阵r_mat的每一列就是M矩阵的一列。M矩阵由这些元组和矩阵r_mat的拼接得到。

然后调用了M矩阵的kernel()函数，得到了M矩阵的零空间，即M矩阵的所有零解。零解是指线性方程组Ax=0的解，其中A是M矩阵。由于x是r_mat列的线性组合，且A矩阵的值已知，因此可以找到所有使得Ax=0的解，这些解反映每个r_mat列之间的线性关系。

使用basis_matrix()函数获取M矩阵零空间的基向量，这些向量构成了零空间的一组基。使用rows()函数获取这些基向量，这些向量将作为线性组合的系数，从而构成最终的解。

3.5 平方根求解

编写函数，分别用于计算线性多项式乘积，(a+b*m)的乘积以及平方差。

在已经找到可能的解向量后，对每一个解向量调用compute_difference_of_squares函数进行检查，以尝试分解n。对于每个检查的结果，如果compute_difference_of_squares函数返回一个有效解，则将解向量的元素分别用u和v表示。如果u != v，则检查gcd(n,u+v)是否为1或n，如果不是，则找到了一个因数。否则，它是一个无用的"平凡"分解（即一个因子等于1，另一个因子等于n）。如果u == v，则这是一个特殊情况，需要进行另一种检查。最后，如果在所有检查中没有找到非平凡因子，则说明该算法失败了。

3.6 实验结果

经对比验证与sagemath分解大整数结果一致，算法实现可行。

4. 实验小结

我在数域筛法（GNFS）进行大整数分解的实验过程中，通过实验获得了更深刻的理解和实践经验。这次实验对我而言不仅是一次技术操作的挑战，更是一次理论与实践相结合的学习过程。

在实验开始时，我对数域筛法的理论基础有了初步的了解，但将这些理论应用于实际的大整数分解过程却是一个全新的挑战。我首先尝试使用m基方法构造多项式，但很快发现这种方法生成的多项式效率并不理想，这直接影响了整个分解过程的效率。例如，在尝试分解一个具体的大整数时，我发现由于多项式选择不佳，所需寻找的满足特定条件的平滑数对数量远远不足，导致后续的线性方程组求解变得异常困难。

通过对cado-nfs这一开源工具的深入研究，我发现它采用了两个多项式，并且多项式的首项次数并非1，这为我打开了新的思路。我意识到多项式选择的复杂性和重要性，它不仅影响筛选步骤的效率，还决定了最终线性方程组的规模和求解难度。在后续实验中，我开始尝试调整多项式的选择策略，这对提高整个分解过程的效率有了显著的帮助。

此外，我在实验中深刻体会到了大规模数据处理和资源管理的重要性。由于大整数分解本身是一个极其资源密集的任务，适当的资源管理和优化对于实验的成功至关重要。在最初的尝试中，我面临了数据存储不足和计算资源限制的问题，这迫使我对数据存储和计算策略进行优化。例如，我曾尝试使用递归方法来处理一些计算步骤，但很快发现这导致了内存溢出的问题。通过改用迭代方法和将部分数据存储于文件系统，我成功解决了这一问题。

总的来说，这次实验不仅增强了我对数域筛法的理解，还提高了我的问题解决能力和对复杂算法实现的把握。它让我深刻理解到，在密码学领域，理论知识和实际操作能力的结合是不可或缺的。通过实践中的挑战和问题解决，相信在未来的研究中，能够更有效地结合理论和实践，不断提升在这一领域的研究能力。

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