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概率统计与随机过程--作业9

article 2025/1/5 6:22:43

一、编程题

一个醉汉从原点出发，每次随机地（概率相等）往东、西、南、北某一方向移动一步，

（1）经过1000步后醉汉所处的位置（离原地的距离）；

（2）重复此试验100次，给出醉汉最后位置的均值。

使用Python编写程序，模拟上述过程并给出模拟结果。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
steps = np.array([(1,0), (0,-1), (-1,0),(0,1)]) # East, South, West, North
print(steps)
numSteps = 100000
locs      = np.zeros((numSteps,2))
for k in range(1,numSteps):
    step = steps[np.random.choice(np.arange(4))]
    locs[k]  = locs[k-1] + step
    
dist = np.sqrt(locs[:,0]**2 + locs[:,1]**2)            
dist_min = np.min(dist)
dist_max = np.max(dist)
origins = [] 
for k in range(numSteps):
    if locs[k,0]==0 and locs[k,1]==0:
        origins.append(k)
print('numSteps = {0}, final loc = {1}, dist = {2}, dist_min = {3}, dist_max = {4}'.format(numSteps,locs[-1],dist[-1], dist_min, dist_max))
print(origins)
 
plt.plot(locs[:,0],locs[:,1])
plt.title('random walks: {0} steps'.format(numSteps))
plt.show()

二、计算题

假设每小时到达服务台的电话数服从参数l=4的泊松分布，且服务台只有1名服务员，服务时间不计。

（1）求第1个小时内有不超过2个电话打进的概率。

（2）假设第1个小时内有6个电话到达，求第2个小时内至少有2个电话到达的概率。

（3）假设服务员在有15个电话到达后去吃午饭，那么他需要等待的时间的期望值为多少？

（4）假设已知前2个小时内有8个电话到达，求此条件下第1个小时内有5个电话到达的概率。

（5）假设已知前4个小时内有k个电话到达，求此条件下第1个小时内有j个电话到达的概率。