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MATLAB中使用牛顿-拉夫逊法进行电力系统潮流计算

article 2025/1/6 4:44:36

一设计要求

基于Matlab采用电力系统分析工具箱或自编程序计算系统潮流；
分别采用NR法和PQ分解法计算潮流，观察NR法计算潮流中雅可比矩阵的变化情况，分析两种方法计算潮流的优缺点；
分析系统潮流情况，包括电压幅值、相角，线路过载情况以及全网有功损耗情况。
对以下内容进行分析：
- 找出系统中有功损耗最大的一条线路，给出减小该线路损耗的措施，比较各种措施的特点，并仿真验证；
- 找出系统中电压最低的节点，给出调压措施，比较各种措施的特点，并仿真验证；
- 找出系统中流过有功功率最大的一条线路，给出减小该线路有功功率的措施，比较各种措施的特点，并仿真验证。

二牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson, NR法）

牛顿-拉夫逊法是一种迭代优化算法，广泛用于求解非线性方程组。在电力系统中，牛顿-拉夫逊法被用来求解电力潮流计算中的非线性功率平衡方程。

牛顿-拉夫逊法的潮流计算原理：

功率平衡方程：潮流计算的核心问题是求解电力系统中各节点的电压幅值和相角，使得系统的功率平衡成立。潮流方程可以写成以下的形式：

对于每个节点 i：

$P_{i}=V_{i}\sum_{j}^{}\left | V_{j} \right |(G_{ij}cos(\theta _{i}-\theta _{j})+B_{ij}sin(\theta _{i}-\theta _{j}))$

$Q_{i}=V_{i}\sum_{j}^{}\left | V_{j} \right |(G_{ij}sin(\theta _{i}-\theta _{j})+B_{ij}cos(\theta _{i}-\theta _{j}))$

其中：

Pi和 Qi是节点 i的有功功率和无功功率。
Vi和 θi 分别是节点 i 的电压幅值和相角。
Gij 和 Bij是节点 i和节点 j之间的导纳矩阵的实部和虚部。

三 PQ分解法（常见为高斯-赛德尔法的变种）

PQ分解法是另一种潮流计算的简化方法，通常用于解决较为简单的电力系统。PQ分解法是基于节点的功率平衡方程，通过逐步迭代来求解电压幅值和相角。

PQ分解法的潮流计算原理：

功率平衡方程：如同牛顿-拉夫逊法，PQ分解法也是求解电力系统的功率平衡方程：

$P_{i}=V_{i}\sum_{j}^{}\left | V_{j} \right |(G_{ij}cos(\theta _{i}-\theta _{j})+B_{ij}sin(\theta _{i}-\theta _{j}))$

$Q_{i}=V_{i}\sum_{j}^{}\left | V_{j} \right |(G_{ij}sin(\theta _{i}-\theta _{j})+B_{ij}cos(\theta _{i}-\theta _{j}))$

方法步骤：
1. 选择初始值：选择一个合适的初始电压幅值和相角。
2. 设置初始假设：通常可以假设负荷节点（PQ节点）的电压幅值为1，发电机节点（PV节点）则给定电压幅值。
3. 逐步更新：通过高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel Method）逐步迭代更新每个节点的电压幅值和相角。
4. 迭代求解：通过逐步调整电压值，使功率误差趋近于零。每一轮更新时，需要通过已有电压值来计算新的功率值。

方法	牛顿-拉夫逊法 (NR法)	PQ分解法
基本思想	通过迭代求解非线性方程组，使用雅可比矩阵进行求解。	通过逐步迭代调整电压值，使功率误差逐步减小。
计算复杂度	较高，涉及雅可比矩阵的计算和线性方程组的求解。	较低，实现简单，但收敛速度较慢。
收敛速度	较快，通常为二次收敛。	较慢，适用于小型系统，但大系统收敛可能较慢。
适用范围	适用于大规模复杂电力系统，精度较高。	适用于小型电力系统，较为简单的模型。
稳定性	较为稳定，能够处理复杂的网络。	在大规模系统中可能不够稳定，容易出现发散。

四代码实现

在MATLAB中使用牛顿-拉夫逊法进行电力系统潮流计算时，通常采用极坐标形式的潮流方程。此方法主要包括功率平衡方程、雅可比矩阵的求解和电压幅值和相位的迭代更新。

假设我们有一个简单的电网模型，包含110kV线路，并且忽略了变压器支路和电纳效应。以下是一个基于MATLAB的电力系统潮流计算的基本框架：

基本步骤

建立节点编号和数据：定义系统的各个节点（包括发电机、负荷节点等）的电压幅值、相位角、功率等数据。
构建潮流方程：基于极坐标形式的功率方程来表示系统。
求解雅可比矩阵：牛顿-拉夫逊法需要求解雅可比矩阵。
迭代计算：根据牛顿-拉夫逊方法进行迭代，直到满足收敛条件。

MATLAB代码示例

% 基于牛顿-拉夫逊法的电力系统潮流计算
clc;
clear;

% 设定基本参数
n = 5;  % 节点数
max_iter = 100;  % 最大迭代次数
tol = 1e-6;  % 收敛容忍度

% 节点的功率需求与发电能力 (以复数表示)
% S = P + jQ
S = [
    0 + 0j;     % 节点 1 (通常是发电机节点，不参与潮流计算)
    -1 - 0.5j;  % 节点 2 (负荷节点)
    -1 - 0.3j;  % 节点 3 (负荷节点)
    0 + 0j;     % 节点 4 (发电机节点)
    -2 - 1j     % 节点 5 (负荷节点)
];

% 初始电压幅值与相角 (假设发电机节点已知电压幅值和相角)
V = [1; 1; 1; 1; 1];   % 电压幅值 (全部为 1.0 pu)
theta = [0; 0; 0; 0; 0];  % 相角 (全部为 0)

% 电力系统的线路参数 (以邻接矩阵表示，假设线路阻抗为纯阻性，忽略电纳)
% 每一行为一个节点连接到其它节点的电导数据（1/阻抗）
Z = [
    0   0.1  0.1  0   0;
    0.1  0   0.1  0   0;
    0.1  0.1  0   0.1 0;
    0   0   0.1  0   0.2;
    0   0   0   0.2  0
];  % 假设所有线路的阻抗为 0.1 pu，电压水平为 110 kV

% 牛顿-拉夫逊法迭代计算
for iter = 1:max_iter
    % 计算节点功率
    P = zeros(n, 1);
    Q = zeros(n, 1);
    for i = 1:n
        for j = 1:n
            % 计算每个节点的有功功率 P 和无功功率 Q
            P(i) = P(i) + V(i) * V(j) * (real(Z(i,j)) * cos(theta(i) - theta(j)) + imag(Z(i,j)) * sin(theta(i) - theta(j)));
            Q(i) = Q(i) + V(i) * V(j) * (real(Z(i,j)) * sin(theta(i) - theta(j)) - imag(Z(i,j)) * cos(theta(i) - theta(j)));
        end
    end

    % 计算功率误差
   P = real(S) - P;
   Q = imag(S) - Q;
   S = [P(2:end);Q(2:end)];  % 不包括第一个发电机节点

    % 构建雅可比矩阵
    J1 = zeros(n-1, n-1);  % 有功功率误差对相角的偏导数
    J2 = zeros(n-1, n-1);  % 有功功率误差对电压幅值的偏导数
    J3 = zeros(n-1, n-1);  % 无功功率误差对相角的偏导数
    J4 = zeros(n-1, n-1);  % 无功功率误差对电压幅值的偏导数

    for i = 2:n
        for j = 2:n
            % 计算雅可比矩阵元素
            % 有功功率误差对相角的偏导数 (J1)
            J1(i-1, j-1) = V(i) * V(j) * (real(Z(i,j)) * sin(theta(i) - theta(j)) - imag(Z(i,j)) * cos(theta(i) - theta(j)));
            % 有功功率误差对电压幅值的偏导数 (J2)
            J2(i-1, j-1) = V(j) * (real(Z(i,j)) * cos(theta(i) - theta(j)) + imag(Z(i,j)) * sin(theta(i) - theta(j)));
            % 无功功率误差对相角的偏导数 (J3)
            J3(i-1, j-1) = V(i) * V(j) * (real(Z(i,j)) * cos(theta(i) - theta(j)) + imag(Z(i,j)) * sin(theta(i) - theta(j)));
            % 无功功率误差对电压幅值的偏导数 (J4)
            J4(i-1, j-1) = V(j) * (real(Z(i,j)) * sin(theta(i) - theta(j)) - imag(Z(i,j)) * cos(theta(i) - theta(j)));
        end
    end

    % 完整的雅可比矩阵
    J = [J1, J2; J3, J4];

    % 更新电压幅值与相角
   V_theta = J \S;  % 求解雅可比矩阵的线性方程
   Theta =V_theta(1:n-1);
   V =V_theta(n:end);

    theta(2:end) = theta(2:end) +Theta;  % 更新相角
    V(2:end) = V(2:end) +V;  % 更新电压幅值

    % 判断收敛性
    if max(absS)) < tol
        fprintf('收敛于第 %d 次迭代\n', iter);
        break;
    end
end

% 输出最终的潮流结果
disp('最终电压幅值:');
disp(V);
disp('最终相角:');
disp(theta);

代码说明：

网络参数：
- S: 用复数表示各节点的负荷或发电功率。
- V 和 theta: 初始的电压幅值和相角（通常对于负荷节点可以假设电压幅值为1，发电机节点给定已知的电压幅值）。
- Z: 阻抗矩阵，表示各个节点之间的阻抗（这里假设所有线路阻抗相同，仅为例子，实际应用中需根据线路参数填写）。
迭代计算：
- 使用牛顿-拉夫逊法迭代来求解电力系统的潮流方程。
- 通过计算节点的功率误差来更新节点的电压幅值和相角。
- 通过求解雅可比矩阵来获得更新量，直至误差小于给定容忍度。
收敛判断：
- 当潮流计算误差（S）的最大值小于设定的收敛阈值时，认为计算已收敛。