2017年IMO几何预选题第7题
凸四边形 A B C D ABCD ABCD 有内切圆 I I I, △ D A B \triangle DAB △DAB, △ A B C \triangle ABC △ABC, △ B C D \triangle BCD △BCD, △ C D A \triangle CDA △CDA 的内心分别为 I a I_a Ia, I b I_b Ib, I c I_c Ic, I d I_d Id. △ A I b I d \triangle AI_bI_d △AIbId, △ C I b I d \triangle CI_bI_d △CIbId 的外接圆的外位似中心为 X X X, △ B I a I c \triangle BI_aI_c △BIaIc, △ D I a I c \triangle DI_aI_c △DIaIc 的外接圆的外位似中心为 Y Y Y. 求证: ∠ X I Y = 9 0 ∘ \angle XIY=90^{\circ} ∠XIY=90∘.
证明:
设 △ A I b I d \triangle AI_bI_d △AIbId 的外心为点 O 1 O_1 O1, △ C I b I d \triangle CI_bI_d △CIbId 的外心为点 O 2 O_2 O2, 设 △ B I a I c \triangle BI_aI_c △BIaIc 的外心为点 O 3 O_3 O3, 设 △ D I a I c \triangle DI_aI_c △DIaIc 的外心为点 O 4 O_4 O4. 设 ⨀ O 1 \bigodot O_1 ⨀O1 和 ⨀ O 2 \bigodot O_2 ⨀O2 的内位似中心为点 X ′ X' X′, 设 ⨀ O 3 \bigodot O_3 ⨀O3 和 ⨀ O 4 \bigodot O_4 ⨀O4 的内位似中心为点 Y ′ Y' Y′.
O 1 O_1 O1, O 2 O_2 O2, X X X, X ′ X' X′ 共线, O 3 O_3 O3, O 4 O_4 O4, Y Y Y, Y ′ Y' Y′ 共线.
O 1 A / O 2 C = sin ∠ I b C I d sin ∠ I b A I d O_1A/O_2C=\frac{\sin \angle I_bCI_d}{\sin \angle I_bAI_d} O1A/O2C=sin∠IbAIdsin∠IbCId.
I A / I C = R / sin ∠ I A B R / sin ∠ I C B IA/IC=\frac{R/\sin \angle IAB}{R/\sin \angle ICB} IA/IC=R/sin∠ICBR/sin∠IAB. ( R (R (R 为 ⨀ I \bigodot I ⨀I 半径)
∠ I A B = ∠ I b A I d = ∠ B A D 2 \angle IAB=\angle I_bAI_d=\frac{\angle BAD}{2} ∠IAB=∠IbAId=2∠BAD.
∠ I C B = ∠ I b C I d = ∠ B C D 2 \angle ICB=\angle I_bCI_d=\frac{\angle BCD}{2} ∠ICB=∠IbCId=2∠BCD.
O 1 O 2 / / A C O_1O_2//AC O1O2//AC. 同理, O 3 O 4 / / B D O_3O_4//BD O3O4//BD.
显然 O 1 I d / O 2 I d = O 1 X ′ / O 2 X ′ = O 1 I / O 2 I = O 1 I b / O 2 I b O_1I_d/O_2I_d=O_1X'/O_2X'=O_1I/O_2I=O_1I_b/O_2I_b O1Id/O2Id=O1X′/O2X′=O1I/O2I=O1Ib/O2Ib. 所以 I X ′ IX' IX′ 平分 ∠ O 1 I O 2 \angle O_1IO_2 ∠O1IO2, I d X ′ I_dX' IdX′ 平分 ∠ O 1 I d O 2 \angle O_1I_dO_2 ∠O1IdO2, I b X ′ I_bX' IbX′ 平分 ∠ O 1 I b O 2 \angle O_1I_bO_2 ∠O1IbO2.
显然, X X X, X ′ X' X′ 调和分割 O 1 O 2 O_1O_2 O1O2, 进而可知 X I ⊥ X ′ I XI\bot X'I XI⊥X′I, X I d ⊥ X ′ I d XI_d\bot X'I_d XId⊥X′Id, X ′ I b ⊥ X I b X'I_b \bot XI_b X′Ib⊥XIb. 由此可知 X X X, I b I_b Ib, X ′ X' X′, I I I, I d I_d Id 五点共圆, 直径为 X X ′ XX' XX′.
显然 X I b = X I d XI_b=XI_d XIb=XId, 所以 I X IX IX 平分 ∠ I b I I d \angle I_bII_d ∠IbIId.
O 4 Y ′ / O 3 Y ′ = D O 4 / B O 3 = I O 4 / I O 3 O_4Y'/O_3Y'=DO_4/BO_3=IO_4/IO_3 O4Y′/O3Y′=DO4/BO3=IO4/IO3. 所以 I Y ′ IY' IY′ 平分 ∠ O 3 I O 4 \angle O_3IO_4 ∠O3IO4.
所以 X X X, Y ′ Y' Y′, I I I 三点共线.
显然, Y Y Y, Y ′ Y' Y′ 调和分割 O 3 O 4 O_3O_4 O3O4, 结合 I Y ′ IY' IY′ 平分 ∠ O 3 I O 4 \angle O_3IO_4 ∠O3IO4, 有 Y ′ I ⊥ Y I Y'I\bot YI Y′I⊥YI, 即 X I ⊥ Y I XI\bot YI XI⊥YI. 结合 X I ⊥ X ′ I XI\bot X'I XI⊥X′I, 可知 Y Y Y, X ′ X' X′, I I I 三点共线.
X I ⊥ Y I ⟺ X I ⊥ X ′ I XI\bot YI \iff XI \bot X'I XI⊥YI⟺XI⊥X′I, 显然成立.
证毕.
完成时间: 2024年4月19日