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高等数学学习笔记 ☞ 极限的运算法则与存在准则

article 2025/1/7 13:16:57

1. 极限的运算法则

（1）有限个无穷小的和是无穷小。（2）有限个无穷小的乘积是无穷小。

备注：

①：无限个无穷小的和不一定是无穷小，反例如下：当 $n\rightarrow \infty$ 时， $n$ 个1/ $n$ 的和的极限为1。

②：无限个无穷小的乘积不一定是无穷小，反例可在网上搜索到。

（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。（4）常数与无穷小的乘积是无穷小。

$eg:\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}x*sin(\frac{1}{x})=0$ 。 $eg:\alpha \rightarrow 0,k\alpha \rightarrow 0$ 。

（5）若 $\lim_{}f(x)=A,\lim_{}g(x)=B$ ，则：

①： $\lim_{}(f(x)\pm g(x))=\lim_{}f(x)\pm\lim_{}g(x)$ 。 ②： $\lim_{}(f(x)* g(x))=\lim_{}f(x)*\lim_{}g(x)$ 。

③： $B\neq 0,\lim_{}(f(x)/ g(x))=\lim_{}f(x)/\lim_{}g(x) = A/B$ 。

备注：使用以上规则的前提是函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的极限都存在，否则不能拆开求极限。

（6） $\lim_{}cf(x)=c\lim_{}f(x)$ 。

备注：上式中的 $c$ 不一定是常数，只要是与求极限的变量无关的变量，都可以提取出来。

（7）若函数 $f(x)$ 的极限存在，则 $\lim_{}[f(x)]^{n}=[\lim_{}f(x)]^{n}$ 。

（8）若 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=A,\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=B$ ，则：

①： $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }(x_{n}\pm y_{n})=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\pm\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}$ 。 ②： $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }(x_{n}* y_{n})=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}*\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}$ 。

③： $B\neq 0,\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }(x_{n}/ y_{n})=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}/\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} = A/B$ 。

备注：使用以上规则的前提是数列 $x_{n}$ 与 $y_{n}$ 的极限都存在，否则不能拆开求极限。

（9）若函数 $f(x)\geq g(x)(f(x)> g(x))$ ，则 $\lim_{}f(x)\geq \lim_{}g(x)$ 。

若函数 $f(x)\leq g(x)(f(x)< g(x))$ ，则 $\lim_{}f(x) \leq \lim_{}g(x)$ 。

（10）已知函数 $f(x)$ 的表达式为： $f(x)=\frac{a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+...+a_{m}}{b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+b_{n}},a_{0}\neq 0,b_{0}\neq 0$ ，则有：

①：若 $m=n$ ，则 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\frac{a_{0}}{b_{0}}$ 。 ②：若 $m>n$ ，则 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$ 。 ③：若 $m<n$ ，则 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$ 。

备注：上式同样适用于当 $x\rightarrow +\infty$ ， $x\rightarrow -\infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限：当 $n\rightarrow \infty$ 时，数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 的极限。

（11）求解复合函数的极限的基本思想： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(g(x))=f(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x))$ 。

2. 极限的存在准则

（1）夹逼准则：国外称汉堡定理。

①：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ , $\left \{ y_{n} \right \}$ , $\left \{ z_{n} \right \}$ ， $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }z_{n}=A$ ，若 $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}$ ，则 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=A$ 。

②：已知函数 $f(x)$ , $g(x)$ , $h(x)$ ， $\lim_{}f(x)=\lim_{}h(x)=A$ ，若 $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ ，则 $\lim_{}g(x)=A$ 。

（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

（3）柯西收敛准则：

数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 收敛 $\Leftrightarrow$ 对于任意的 $\varepsilon >0$ ，若存在 $N>0$ (数列中的某一项)，当 $m,n>N$ 时(N后面的任意两项)，有 $|x_{m}-x_{n}|< \varepsilon$ 。

3. 两个重要极限

（1）第一重要极限：

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$

备注：

①： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sinx}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx}{x}=1$ 。 ②：当 $0<x<\pi /2$ 时， $sinx<x<tanx$ 。

（2）第二重要极限：

①： $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^{n}=e$ ②： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}=e$ ③： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0 }(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$