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高等数学学习笔记 ☞ 连续与间断

article 2025/3/1 9:54:43

1. 连续

1. 点连续定义：

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，取 $x_{0}$ 附近的点 $x_{0}+\Delta x$ ，对应的函数值分别 $f(x_{0})$ 和 $f(x_{0}+\Delta x)$ ，

令 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ ，当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，若 $\Delta y\rightarrow 0$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续。

记作 $\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0$ 。 $\Rightarrow$ 此式为增量形式。

又知 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ ，则 $\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0$ 可改写为： $\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})$ 。

令 $x = x_{0}+\Delta x$ ，则 $\Delta x = x-x_{0}$ ，那么上式可改写为： $\displaystyle\lim_{ x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ 。

记作： $\displaystyle\lim_{ x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ 。 $\Rightarrow$ 此式为极限形式。

备注：点连续的条件：

①：在点 $x_{0}$ 处，函数 $f(x)$ 有定义；②：当 $x\rightarrow x_{0}$ 时，函数 $f(x)$ 的极限存在；③： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ 。

2. 左连续定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，若 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处左连续。

备注：左连续的条件：

①：在点 $x_{0}$ 处，函数 $f(x)$ 有定义；②：当 $x\rightarrow x_{0}^{-}$ 时，函数 $f(x)$ 的极限存在；③： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$ 。

3. 右连续定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，若 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处右连续。

备注：右连续的条件：

①：在点 $x_{0}$ 处，函数 $f(x)$ 有定义；②：当 $x\rightarrow x_{0}^{+}$ 时，函数 $f(x)$ 的极限存在；③： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$ 。

4. 开区间连续定义：若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的每一个点都连续，则称函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续。

5. 闭区间连续定义：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 的每一个点都连续，则称函数 $f(x)$ 在开区间 $[a,b]$ 连续。

备注：闭区间连续的条件：①：函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续；②：在 $a$ 处右连续；③：在 $b$ 处左连续。

小贴士：函数在某点处连续的充分必要条件是函数在该点处左右都连续。

2. 间断

1. 定义：若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处不连续，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处间断，把 $x_{0}$ 称为函数 $f(x)$ 的间断点。

备注：间断的3种情况（根据间断的情况得出间断点的种类）：

①：函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处没有定义；②：当 $x\rightarrow x_{0}$ 时，函数 $f(x)$ 的极限不存在；③：极限值 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 与函数值 $f(x_{0})$ 不相等。