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题解：A. Noldbach Problem

article 2025/3/1 21:57:40

问题描述

Nick 对素数非常感兴趣。他阅读了有关 Goldbach Problem 的内容，了解到每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和。于是他决定创造一个新问题，称为 Noldbach Problem。

Noldbach 问题的定义如下：

如果一个素数 $p$ 满足：
- 它可以表示为两个连续素数之和再加 1，即 $p = p_1 + p_2 + 1$，其中 $p_1, p_2$ 是相邻素数；
- 那么我们称 $p$ 为 Noldbach 数。
问题要求从 $2$ 到 $n$ 的所有素数中，至少有 $k$ 个素数是 Noldbach 数。

你的任务是帮助 Nick 判断是否存在至少 $k$ 个满足条件的 Noldbach 数。

输入格式

输入包含两整数 $n$ 和 $k$：

$n$ 表示需要判断的素数的上限（$2 \leq n \leq 1000$）。
$k$ 表示需要找到的 Noldbach 数的数量（$0 \leq k \leq 1000$）。

输出格式

输出 YES 如果从 $2$ 到 $n$ 的素数中至少有 $k$ 个是 Noldbach 数；否则输出 NO。

示例

示例 1

输入：

27 2

输出：

YES

解释：

小于等于 27 的素数为：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。
满足 Noldbach 条件的数为：13 (5 + 7 + 1) 和 19 (7 + 11 + 1)。
共计 2 个，满足至少 2 个条件。

示例 2

输入：

45 7

输出：

NO

解释：

小于等于 45 的素数为：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43。
满足 Noldbach 条件的数为：13, 19, 31，共计 3 个。
不满足至少 7 个条件。

Python代码实现

以下是 Python 的实现代码：

import math

def is_noldbach(n, k):
    # 使用埃拉托色尼筛法找出小于等于 n 的所有素数
    prime = [True] * (n + 1)
    prime[0] = prime[1] = False  # 0 和 1 不是素数

    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if prime[i]:
            for j in range(i * 2, n + 1, i):
                prime[j] = False

    # 收集所有小于等于 n 的素数
    primes = [i for i in range(2, n + 1) if prime[i]]

    # 检查 Noldbach 条件
    total = 0
    for i in range(2, len(primes)):
        if primes[i] == primes[i - 1] + primes[i - 2] + 1:
            total += 1

    # 判断是否满足至少 k 个 Noldbach 数
    return "YES" if total >= k else "NO"


def main():
    # 读取输入
    n, k = map(int, input().split())
    
    # 输出结果
    print(is_noldbach(n, k))


if __name__ == "__main__":
    main()

代码详解

埃拉托色尼筛法生成素数：
- 使用布尔数组 prime 标记是否为素数。
- 从 $2$ 开始，对于每个素数，将其所有倍数标记为非素数。
- 最终所有布尔值为 True 的索引即为素数。
生成素数列表：
- 使用列表推导式提取所有小于等于 $n$ 的素数，存储在列表 primes 中。
检查 Noldbach 条件：
- 遍历素数列表，从第 3 个素数开始（因为需要两个前置素数）。
- 判断当前素数是否等于前两个素数之和再加 1。
判断是否满足至少 $k$ 个条件：
- 如果找到的 Noldbach 数数量 total 大于或等于 $k$，输出 YES，否则输出 NO。

示例测试

示例 1

输入：

27 2

输出：

YES

示例 2

输入：

45 7

输出：

NO

特点与优化

时间复杂度：
- 素数筛法为 $O(n \log \log n)$。
- Noldbach 条件检查为 $O(p)$，其中 $p$ 是素数的数量，约为 $O(\frac{n}{\log n})$。
空间复杂度：
- 使用布尔数组和素数列表，空间复杂度为 $O(n)$。
优化建议：
- 可以通过预计算连续素数对的和加速条件检查。