概率基本概念 --- 离散型随机变量实例

条件概率&独立事件

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概率表示

• 概率分布函数
• 概率密度函数
• 概率质量函数
• 全概率公式
• 贝叶斯公式

概率计算

• 数学期望
• 方差
• 协方差

计算实例

• 假设有两个离散型随机变量X和Y，它们代表某天中两个不同时间段内通过某个路口的车辆数。以下是随机变量X和Y的概率分布：

X的概率分布（0点到6点）：

• P(X=0) = 0.2（没有车辆通过）
• P(X=1) = 0.5（1辆车通过）
• P(X=2) = 0.3（2辆车通过）

Y的概率分布（6点到12点）：

• P(Y=0) = 0.1（没有车辆通过）
• P(Y=1) = 0.4（1辆车通过）
• P(Y=2) = 0.3（2辆车通过）
• P(Y=3) = 0.2（3辆车通过）

首先，我们计算X的数学期望（E(X)和E(Y)）：

• E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2)= 0 * 0.2 + 1 * 0.5 + 2 * 0.3 = 0 + 0.5 + 0.6= 1.1
• E(Y) = 0 * P(Y=0) + 1 * P(Y=1) + 2 * P(Y=2) + 3 * P(Y=3) = 0 * 0.1 + 1 * 0.4 + 2 * 0.3 + 3 * 0.2= 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6= 1.6

X加权期望值是: 1.1
X加权方差是: 0.49
Y加权期望值是: 1.6
X加权方差是: 0.8400000000000001

现在，计算方差（D(X),D(Y)）：

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

• E(X^2)： E(X^2) = 0^2 * P(X=0) + 1^2 * P(X=1) + 2^2 * P(X=2) = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7

• 然后计算方差： D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1.7 - (1.1)^2 = 1.7 - 1.21 = 0.49

D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2

• E(Y^2)： E(Y^2) = 0^2 * P(Y=0) + 1^2 * P(Y=1) + 2^2 * P(Y=2) + 3^2 * P(Y=3) = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 = 3.4

• 然后计算方差： D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 3.4 - (1.6)^2 = 3.4 - 2.56 = 0.84

公式推导

最后，我们计算X和Y的协方差（Cov(X,Y)）：

根据这些结果，协方差 Cov(X,Y) 的计算结果为-4.440892098500626e-16)

这个值非常接近于0，说明在独立性假设下，X和Y几乎没有线性相关性。

实际上，这个极小的负值可以被视为计算中的舍入误差，可以忽略不计。

因此，我们可以认为在独立性假设下，X和Y的协方差为0。