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【机器学习】机器学习的基本分类-自监督学习-自回归方法（Autoregressive Methods）

article 2025/1/8 10:40:00

自回归方法（Autoregressive Methods） 是一种生成式模型，通过条件概率建模数据的联合分布。它假设当前数据点依赖于前面部分的序列，利用这种依赖关系逐步生成数据。

核心思想

自回归方法的目标是将数据的联合分布 p(x) 分解为条件概率的乘积：

$p(x) = p(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n p(x_i | x_{<i})$

其中， $x_{<i}$ 表示数据点 $x_i$ 之前的所有数据点。

这种分解将复杂的联合分布问题转化为多个条件概率问题，便于学习和建模。

特点

因果性：模型生成数据时保证顺序性，数据点 $x_i$ 只依赖于先前的 $x_{<i}$ 。
逐点生成：自回归模型逐步生成每个数据点，使其适用于序列数据生成。
显式分布：自回归模型直接学习数据的概率分布。

自回归方法的主要模型

1. 经典自回归模型

传统统计中的自回归模型（AR 模型）假设数据具有线性关系。

$x_t = \phi_1 x_{t-1} + \phi_2 x_{t-2} + \dots + \phi_p x_{t-p} + \epsilon_t$

其中， $\phi_i$ 是模型参数， $\epsilon_t$ 是噪声。

应用领域：时间序列预测、经济学建模。

2. 深度学习中的自回归模型

深度学习中的自回归方法通过神经网络非线性建模 $p(x_i | x_{<i})$ 。

PixelCNN / PixelRNN：用于图像生成。
WaveNet：用于语音生成。
Transformer-based 自回归模型：用于文本生成，如 GPT。

典型自回归方法

1. PixelCNN 和 PixelRNN

PixelCNN 和 PixelRNN 是用于图像生成的自回归模型，通过逐像素建模条件概率 $p(x_{i,j} | x_{<i,j})$ 。

PixelCNN 特点：
- 使用卷积网络建模。
- 每个像素值只依赖于其上方和左侧像素。
- 高效，但上下文捕获有限。
PixelRNN 特点：
- 使用循环网络建模。
- 能捕获更长的上下文依赖关系，但计算成本较高。

2. WaveNet

WaveNet 是 Google 提出的自回归语音生成模型，通过逐时间步建模条件概率 $p(x_t | x_{<t})$ 。

特点：
- 通过因果卷积确保时间序列的因果性。
- 引入扩张卷积（Dilated Convolution）捕获长时间依赖。
- 用于语音合成和音乐生成。
生成过程：逐步采样，依赖之前生成的音频样本。

3. GPT 系列模型

GPT（Generative Pre-trained Transformer）系列模型是自回归语言模型的典型代表，通过 Transformer 架构逐字生成文本。

特点：
- 基于自注意力机制（Self-Attention）建模上下文。
- 使用掩码机制（Masking）确保生成过程中仅依赖前面的词。
生成过程：逐步生成每个单词或子词，通过 $p(y_t | y_{<t})$ 采样。

自回归模型的实现

以下以简单的字符级文本生成为例，展示自回归模型的实现。

示例代码：字符级文本生成

import numpy as np
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import layers

# 数据预处理
text = "hello world"
chars = sorted(set(text))
char_to_idx = {char: idx for idx, char in enumerate(chars)}
idx_to_char = {idx: char for char, idx in char_to_idx.items()}

# 将文本转换为序列
sequence = [char_to_idx[c] for c in text]
X, y = sequence[:-1], sequence[1:]

# 构建模型
model = tf.keras.Sequential([
    layers.Embedding(input_dim=len(chars), output_dim=8, input_length=len(X)),
    layers.LSTM(32, return_sequences=True),
    layers.Dense(len(chars), activation='softmax')
])

model.compile(optimizer='adam', loss='sparse_categorical_crossentropy')
model.summary()

# 训练模型
X_train = np.array([X])
y_train = np.array([y])
model.fit(X_train, y_train, epochs=200, verbose=0)

# 文本生成函数
def generate_text(model, start_char, char_to_idx, idx_to_char, length=10):
    input_seq = np.array([[char_to_idx[start_char]]])
    generated = [start_char]

    for _ in range(length):
        preds = model.predict(input_seq, verbose=0)[0, -1]
        next_idx = np.argmax(preds)
        next_char = idx_to_char[next_idx]
        generated.append(next_char)
        input_seq = np.array([[next_idx]])

    return ''.join(generated)

# 测试文本生成
generated_text = generate_text(model, start_char='h', char_to_idx=char_to_idx, idx_to_char=idx_to_char)
print("Generated Text:", generated_text)

输出结果

Model: "sequential"
_________________________________________________________________
 Layer (type)                Output Shape              Param #   
=================================================================
 embedding (Embedding)       (None, 10, 8)             64        
                                                                 
 lstm (LSTM)                 (None, 10, 32)            5248      
                                                                 
 dense (Dense)               (None, 10, 8)             264       
                                                                 
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Total params: 5,576
Trainable params: 5,576
Non-trainable params: 0
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