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矩阵和向量点乘叉乘元素乘

article 2025/1/8 13:32:05

Date: 2025.01.07

Author: Xin Pan

回顾下矩阵和向量的各种乘法。

向量

点乘

又叫做点积、内积、数量积、标量积。 $a=[a_1,a_2,...,a_n]$ 和 $b=[b_1,b_2,...,b_n]$ 点乘的结果是一个标量，记作 $a . b$

$a.b=\sum_{i=1}^na_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$

叉乘

又叫向量积、外积、叉积，叉乘， $a=[a_1,a_2,...,a_n]$ 和 $b=[b_1,b_2,...,b_n]$ 叉乘的运算结果是一个向量，并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直，记作 $a x b$

$axb=(a_2b_3-b_2a_3,-a_1b_3+b_1a_3,a_1b_2-b_1a_2)$

元素乘（我自己起的名，为了方便理解）

对应位置元素相成，维度不变。

import numpy as np

if __name__ == "__main__":
    a = np.array([1, 2, 3])
    b = np.array([4, 5, 6])

    print(f"Dot={np.dot(a,b)}")
    print(f"Cross={np.cross(a,b)}")
    print(f"@ times={a@b}")
    print(f"* times={a*b}")
    print(f"np.multiply={np.multiply(a,b)}")

结果

Dot=32
Cross=[-3  6 -3]
@ times=32
* times=[ 4 10 18]
np.multiply=[ 4 10 18]

矩阵

点乘

是矩阵各个对应元素相乘, 这个时候要求两个矩阵必须同样大小。做的事和向量的元素乘一样的。可以直接使用星号(*)进行表示。

叉乘

矩阵的乘法就是矩阵a的第m行乘以矩阵b的第n列，各个元素对应相乘然后求和作为第m行n列元素的值。使用np.dot函数执行，也可以使用@计算。

元素乘（我自己起的名，为了方便理解）

和矩阵点乘做的是一样的事情。

import numpy as np

if __name__ == "__main__":
    a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
    b = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])

    print(f"Dot={np.dot(a,b.T)}")
    print(f"Cross={np.cross(a,b)}")
    print(f"@ times={a@b.T}")
    print(f"* times={a*b}")
    print(f"np.multiply={np.multiply(a,b)}")

结果

Dot=[[ 50  68]
 [122 167]]
Cross=[[-6 12 -6]
 [-6 12 -6]]
@ times=[[ 50  68]
 [122 167]]
* times=[[ 7 16 27]
 [40 55 72]]
np.multiply=[[ 7 16 27]
 [40 55 72]]