【苏德矿高等数学】第4讲：数列极限定义-1

2. 数列极限

数列极限是整个微积分的核心。它的思想贯穿整个微积分之中。
数列极限是最基本的、最核心的、最重要的、最难的。

2.1 数列

【定义】无限排列的一列数$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$就称为数列，记作 { a n } \{a_n\} {an​}，称$a_n$为数列的通项。
【定义】$y=f(x),x\in \mathbf{D}$，特别地 D = { 1 , 2 , 3 , ⋯   , n , ⋯   } = N \boldsymbol{D}=\{1,2,3,\cdots,n,\cdots\}=\mathbb{N} D={1,2,3,⋯,n,⋯}=N，$y=f(x),x\in \mathbb{N}$，改写为$y=f(n),n\in \mathbb{N}$（自变量取正整函数，$n:1,2,3,\cdots ,n,\cdots$，$f(n):f(1),f(2),f(3),\cdots ,f(n),\cdots$），由于自变量$n$可以按照自然数的顺序排成无限列，相应地，它的函数值也可以拍成无限列，$f(1),f(2),f(3),\cdots ,f(n),\cdots$就称为数列，记作 { f ( n ) } \{f(n)\} {f(n)}，$f(n)$就称为数列的通项。
【注】设$f(n)=a_n$，两种定义都是对的，无非就是形式不同，即数列$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n,\cdots$.

庄子说：一尺之棰，日取之半，万世不竭。（一尺长的棒子，每条取剩下的一半，这样下去，永远取不完），即
天数为$n:1,2,3,\cdots ,n,\cdots$，
手中棒子的长度$\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\cdots ,\frac{1}{2^n},\cdots$
趋势：极限为$0$.
【例】$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{n},\cdots$
画数轴，随着$n$无限增大，这个项与0越来越无限接近。

【例】$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots ,\frac{(-1{)}^{n-1}}{n},\cdots$
随着$n$无限增大，围绕着$0$两侧“跳来跳去”，极限为0

【例】 { 1 + ( − 1 ) n − 1 n } \{1+\frac{(-1)^{n-1}}{n}\} {1+n(−1)n−1​}的极限为1，并不是说极限都为0.

【例】 { n } \{n\} {n}没有趋势（无穷大，无穷大不是数，所以称作没有趋势），也就是没有极限。

【例】$1,-1,1,-1,\cdots ,(-1{)}^{n-1},\cdots$随着$n$无限增大，它不能与某个常数无限接近，它也是没有极限的。

因此我们只关心有趋势，也就是一个数列有极限，也就是随着$n$增大，数列的项与某个常数$a$无限地接近。

2.2 数列极限

【定义（定性分析）】设 { a n } \{a_n\} {an​}是一个给定的数列，$a$是一个确定的常数，随着$n$无限增大，数列的项$a_n$与$a$无限地接近，称数列 { a n } \{a_n\} {an​}的极限为$a$，记作$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$或$a_n\to a(n\to \infty )$.

寻找用数学表达式给的定义，随着$n$无限增大，$|a_n-a|$与$0$无限地接近。$\forall \epsilon >0$使得$|a_n-a|<\epsilon$（你小我比你还小），找到一个自然数$N$，当$n>N$都有$|a_n-a|<\epsilon$.

2.2.1 数列极限的定义

【定义】设 { a n } \{a_n\} {an​}是一个给定的数列，$a$是一个确定的常数，若$\forall \epsilon >0$，相应地$\exists$自然数$N$，当$n>N$时，都有$|a_n-a|<\epsilon$，称数列 { a n } \{a_n\} {an​}的极限是$a$，记作$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$或$a_n\to a(n\to \infty )$.

【例】$1-1+1-1+\cdots +(-1{)}^{n-1}+\cdots$，求和。
【错解】$(1-1)+(1-1)+\cdots +(1-1)+\cdots =0$，$1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots +(-1+1)+\cdots =1$
不能随便这样加括号（结合律），有限个数相加有结合律，无限个数相加不一定有结合律，其实这个是一个级数。

【例】$1,-1,1,-1,\cdots ,(-1{)}^{n-1},\cdots$（不能取$n$大于偶数项，奇数项，极限是唯一的，不可能$1$是它的极限，$-1$也是它的极限）

对定义更进一步理解：

• 定义中的$\forall \epsilon >0$，从形式上，$\epsilon$指的是一切正数，限制$0<\epsilon <1$也可以（因为它仍然包含着0的右边的小区间，可以做到任意小的正数），但是不能限制$\epsilon >$某个正数（这就没法衡量无限地接近，比如$1,-1,1,-1,\cdots ,(-1{)}^{n-1},\cdots$这个数列，当$\epsilon >2$时，$|a_n-1|<2<\epsilon$，但是这不能说明1就是它的极限），$\epsilon$有时候也可以换成${\epsilon }^2,\sqrt{\epsilon }$（$\epsilon >0,{\epsilon }^2>0,\sqrt{\epsilon }>0$，只要满足大于0的正数就行），但是$\epsilon$不能换成$\epsilon +1$，因为$\epsilon +1>1$了，$|a_n-a|<\epsilon$也可以改成$|a_n-a|⩽\epsilon$.
• $N$的相应性，先有$\epsilon$，后有$N$，再确定$N$，使得$n>N$时，都有$|a_n-a|<\epsilon$成立，也可以取$N+1,N+2,\cdots$作为新的$N$更能成立。甚至$n>N$可以改写$n⩾N$，$N$也可以不是自然数，它只是一个下标的界限，假如$n>3.5$，说明$n$从4开始也成立。
• 几何意义：$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$即$\forall \epsilon >0,\exists N$，当$n>N$时都有$|a_n-a|<\epsilon \iff -\epsilon <a_n-a<\epsilon \iff a-\epsilon <a_n<a+\epsilon \iff a_n\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )\triangleq U(a,\epsilon )$【注1与注2】
  $U(a,\epsilon )$的外部只有有限项，其余项都在此邻域中，并且有无限项。
  
  也就是对于$a$的任何$\epsilon$邻域$U(a,\epsilon )$在外部仅有数列的有限项，其余的项的统统在邻域内。如果这个邻域的半径取的越小，外面的项越多，再多也是有限项，其余的项统统在这个邻域内。
  

【注1】邻域与去心邻域
【定义】对区间我们常引入下面的记号，开区间$\left(x_0-\delta ,x_0+\delta \right)\stackrel{\text{ def }}{=}U\left(x_0,\delta \right)(\delta >0)$称为以$x_0$为中心，以$\delta$为半径的邻域，简称为$x_0$的$\delta$邻域。若不需要指明半径$\delta$时，记作$U(x_0)$，称为$x_0$的某邻域。邻域一般是一个以$x_0$点为对称点的对称区间，如下图所示：

【定义】$\left(x_0-\delta ,x_0\right)\cup \left(x_0,x_0+\delta \right)\stackrel{\text{ def }}{=}\stackrel{\circ }{U}\left(x_0,\delta \right)$称为以$x_0$为中心，以$\delta$为半径的去心邻域（也叫空心邻域），简称为$x_0$的$\delta$去心邻域（空心邻域）。若不需要指明半径$\delta$时，记作$\stackrel{\circ }{U}(x_0)$，称为$x_0$的某去心邻域（空心邻域）。去心邻域顾名思义是在邻域的基础上去掉对称中心$x_0$的区间，如下图所示：

2.2.2 分析法

【例】证明$x>e$时，$x^2-3x+2>0$
（使用分析法）
要证B成立，只要证A成立，指的是$A\Rightarrow B$，反之不一定。即A成立是B成立的充分条件。
【证】要证$x^2-3x+2>0$成立
只要证$(x-1)(x-2)>0$成立
只要证$x<1$或$x>2$成立
由$x>e\Rightarrow x>2\Rightarrow x^2-3x+2>0$.