哈密顿原理
本文介绍哈密顿原理（Hamilton’s principle），并指出从哈密顿原理可以导出拉格朗日方程，导出的详细步骤将在后面几节讨论。
拉格朗日方程的推导过程从系统瞬时状态的虚位移、虚功等概念开始，也就是从微分的角度给出，即达朗贝尔原理。另一方面，我们也可以从时刻 t 1 t_1 t1- t 2 t_2 t2之间力学系统整体运动出发导出拉格朗日方程，即积分原理，也就是哈密顿原理。
力学系统的瞬时构型（instantaneous configuration）通过 n n n个广义坐标描述，即 q 1 , q 2 , . . . , q n q_1,q_2,...,q_n q1,q2,...,qn，并且这个瞬时构型对应于笛卡尔超空间中的某个点，其中，这些广义坐标构成了 n n n个坐标轴。这个 n n n维坐标系称为构型空间（configuration space）。力学系统的动态演化表现为构型空间中的点的移动，这个点随时间变化形成了一个轨迹。值得指出的是，构型空间中不必与三维真实空间有明确对应关系，这与广义坐标不必必须表示位置是一样的道理。
哈密顿原理描述了力学系统的运动，这种力学系统中的力全部由一个广义标量势函数导出，且这个势函数是坐标、速度和时间的而函数。这种系统被称为是单演系统或单生系统（monogenic），可以理解为保守系统。单生系统的所有广义力都可以通过一个标量势函数来表达，无需额外的非保守力项。
对于单演系统，哈密顿原理为，从时间
t
1
t_1
t1到
t
2
t_2
t2之间力学系统的运动通过如下作用量（action）描述：
I
=
∫
t
1
t
2
L
d
t
I = \int_{t_1}^{t_2} L {\rm d}t
I=∫t1t2Ldt
式中
L
=
T
−
V
L=T-V
L=T−V，这个作用量
I
I
I取其稳定值（stationary value）时即为系统的实际运动状态。此处的稳定值表示沿给定路径的积分值与沿此路径临近无限小范围内的路径的积分有相同的值。因此哈密顿原理还可表述为：线积分
I
I
I的变分
δ
I
\delta I
δI为零，即
δ
I
=
δ
∫
t
1
t
2
L
d
t
=
0
\delta I = \delta \int_{t_1}^{t_2} L {\rm d}t = 0
δI=δ∫t1t2Ldt=0
哈密顿原理是导出基本动力学方程的充分必要条件，因此可代替牛顿第二定律称为最基本的原理。这种积分原理有如下优点：作用量 I I I对于广义坐标是不变量；更重要的是，当我们试图在场论中描述非力学系统时，这种变分表述是必经之路。