相对误差与相对误差限
目录
- 相对误差
- 相对误差限
- 小结
相对误差
误差限的大小还不能完全表示近似值的好坏。例如，有两个量 x = 10 ± 1 , y = 1000 ± 5 x=10\pm1,y=1 000±5 x=10±1,y=1000±5，则
x
∗
=
10
,
ε
x
∗
=
1
,
y
∗
=
1000
,
ε
y
∗
=
5.
x^*=10,\quad\varepsilon_x^*=1,\quad y^*=1000,\quad\varepsilon_y^*=5.
x∗=10,εx∗=1,y∗=1000,εy∗=5.
虽然
ε
y
∗
\varepsilon_{y}^{*}
εy∗比
ε
x
∗
\varepsilon_x^*
εx∗大4倍，但
ε
y
∗
y
∗
=
5
1000
=
0.5
%
\frac{\varepsilon_y^*}{y^*}=\frac5{1000}=0.5\%
y∗εy∗=10005=0.5%比
ε
x
∗
x
∗
=
1
10
=
10
%
\frac{\varepsilon_x^*}{x^*}=\frac1{10}=10\%
x∗εx∗=101=10%小得多，这说明 y近似 y 的程度比
x
∗
x^*
x∗近似
x
x
x的程度要好得多。
所以，除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 x x x本身的大小。近似值的误差 e ∗ e^* e∗与准确值 x x x的比值
e ∗ x = x ∗ − x x \frac{e^*}x=\frac{x^*-x}x xe∗=xx∗−x
称为近似值 x ∗ x^* x∗的相对误差，记作 e r ∗ 。 e_\mathrm{r}^*。 er∗。
在实际计算中，由于真值 x x x总是不知道的，通常取
e r ∗ = e ∗ x ∗ = x ∗ − x x ∗ e_\mathrm{r}^*=\frac{e^*}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*} er∗=x∗e∗=x∗x∗−x
作为 x ∗ x^* x∗ 的相对误差 ,条件是 e r ∗ = e ∗ x ∗ e_\mathrm{r}^*=\frac{e^*}{x^*} er∗=x∗e∗较小，此时
e ∗ x − e ∗ x ∗ = e ∗ ( x ∗ − x ) x ∗ x = ( e ∗ ) 2 x ∗ ( x ∗ − e ∗ ) = ( e ∗ / x ∗ ) 2 1 − ( e ∗ / x ∗ ) \frac{e^*}x-\frac{e^*}{x^*}=\frac{e^*(x^*-x)}{x^*x}=\frac{(e^*)^2}{x^*(x^*-e^*)}=\frac{(e^*/x^*)^2}{1-(e^*/x^*)} xe∗−x∗e∗=x∗xe∗(x∗−x)=x∗(x∗−e∗)(e∗)2=1−(e∗/x∗)(e∗/x∗)2
是 e r ∗ e_{\mathrm{r}}^{*} er∗ 的二次方项级，故可忽略不计。
相对误差限
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作 ε r ∗ = ε ∗ ∣ x ∗ ∣ \varepsilon_\mathrm{r}^*=\frac{\varepsilon^*}{|x^*|} εr∗=∣x∗∣ε∗
根据定义 , ε x ∗ ∣ x ∗ ∣ = 10 % ,\frac{\varepsilon_x^*}{|x^*|}=10\% ,∣x∗∣εx∗=10%与 ε y ∗ ∣ y ∗ ∣ = 0.5 % \frac{\varepsilon_y^*}{|y^*|}=0.5\% ∣y∗∣εy∗=0.5%分别为 x x x 与 y y y 的相对误差限，可见 y ∗ y^* y∗近似 y 的程度比 x x x ”近似 x x x的程度好。
小结
相对误差
e r ∗ = e ∗ x = x ∗ − x x e_\mathrm{r}^*=\frac{e^*}x=\frac{x^*-x}x er∗=xe∗=xx∗−x
在实际计算中，由于真值 x x x总是不知道的，通常取
e r ∗ = e ∗ x ∗ = x ∗ − x x ∗ e_\mathrm{r}^*=\frac{e^*}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*} er∗=x∗e∗=x∗x∗−x
相对误差限
ε r ∗ = ε ∗ ∣ x ∗ ∣ \varepsilon_\mathrm{r}^*=\frac{\varepsilon^*}{|x^*|} εr∗=∣x∗∣ε∗