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向量检索的算法-乘积量化

article 2025/1/12 23:28:20

乘积量化（Product Quantization, PQ） 是一种高效的向量量化技术，广泛应用于高维空间的近似最近邻（Approximate Nearest Neighbor, ANN）搜索，特别是在大规模数据集的处理中。乘积量化通过对高维向量进行分解、量化和编码，实现了对数据的高效表示，从而在检索过程中显著减少了计算和存储的开销。

1. 背景与动机

在高维空间中进行最近邻搜索（例如，通过计算欧几里得距离）通常是非常耗时的，特别是在处理大规模数据集时。传统的暴力搜索方法无法应对海量数据，因为它们的时间复杂度为 ( O(n) )，其中 ( n ) 是数据集的大小，不能满足实时性要求。

为了加速查询过程，研究者们提出了多种近似方法。乘积量化作为其中的一种方法，通过将高维数据映射到一个压缩的低维空间，既能够减少存储空间，又能够加速检索过程。

2. 乘积量化的基本原理

乘积量化的核心思想是通过将一个高维向量分解为多个低维子向量，并对每个子向量分别进行量化，从而实现对整个向量的高效表示。具体步骤如下：

2.1. 向量分解

给定一个高维向量 ( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^d )，乘积量化首先将该向量分解成 ( M ) 个子向量，每个子向量的维度为 ( d/M )。即，向量 ( \mathbf{v} ) 被划分为 ( M ) 个 ( d/M ) 维的小向量：
[
\mathbf{v} = (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_M)
]
其中，( \mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^{d/M} )，表示第 ( i ) 个子向量。

2.2. 子向量量化

接下来，对每个子向量进行量化。每个子向量通过一个**量化器（quantizer）**映射到一个有限的集合中。量化的过程是通过将子向量的元素映射到离散的代码字（codebook）来实现的。具体来说，对于每个子向量 ( \mathbf{v}_i )，我们构建一个大小为 ( K_i ) 的字典（或码本），并通过最邻近法将 ( \mathbf{v}_i ) 映射到最接近的码字。

在量化过程中，常见的做法是使用 K-means 聚类 来生成码字。通过聚类算法将数据点划分为 ( K_i ) 类，每个类的中心作为码字，这样每个子向量就会被映射到与其距离最小的码字。

2.3. 码字拼接

将每个子向量量化后，整个向量的表示可以通过拼接各个子向量的码字来获得。例如，给定一个向量 ( \mathbf{v} )，它可以被表示为一个长度为 ( M ) 的整数向量 ( \mathbf{c} = (c_1, c_2, \dots, c_M) )，其中每个 ( c_i ) 是第 ( i ) 个子向量的量化结果，即它是子向量 ( \mathbf{v}_i ) 在码本中的索引。

因此，乘积量化将一个高维向量 ( \mathbf{v} ) 转换为一个离散的、紧凑的表示 ( \mathbf{c} )，极大地减少了存储空间和计算开销。

3. 乘积量化的查询过程

乘积量化在查询时的目标是快速找到与查询向量最相似的向量。具体步骤如下：

3.1. 查询向量分解

首先，将查询向量 ( \mathbf{q} ) 按照与训练数据时相同的方式分解成 ( M ) 个子向量：
[
\mathbf{q} = (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \dots, \mathbf{q}_M)
]
其中每个 ( \mathbf{q}_i \in \mathbb{R}^{d/M} )。