计算机组成原理（九）：乘法器
乘法器原理
乘法器的工作原理可以用二进制乘法来说明。二进制乘法和十进制乘法类似，通过部分积的累加得到结果。
部分积的生成
在二进制乘法中，每一位的乘积是两个二进制数位的 与运算（0 × 0 = 0，1 × 0 = 0，0 × 1 = 0，1 × 1 = 1）。例如：
A = 1101 (13 in decimal)
× B = 1011 (11 in decimal)
--------------
1101 (部分积1，对应 B 的最低位)
+ 0000 (部分积2，B 的次低位为 0)
+ 1101 (部分积3，B 的次高位为 1)
+ 1101 (部分积4，B 的最高位为 1)
--------------
10011111 (143 in decimal)
累加器的使用
乘法器通过生成部分积，并使用一个累加器不断相加最终得到结果。
乘法器的分类
串行乘法器
- 特点：
- 使用移位寄存器和一个累加器。
- 部分积逐位生成并累加。
- 优点：
- 硬件简单，占用资源少。
- 缺点：
- 速度慢，每次操作需要多个时钟周期。
- 算法：
- 从最低有效位到最高有效位逐位处理乘数。
- 每处理一位，若该位为1，则累加乘数。
- 移位操作用来对应权重增加。
+-----------------+
| 被乘数寄存器 | --> 左移
+-----------------+
^
| +----------------+
+------>+ 累加器寄存器 | (累加部分积)
+------>+----------------+
^
| +----------------+
+------>+ 乘数寄存器 | --> 右移
+----------------+
并行乘法器
- 特点：
- 同时生成所有部分积并进行累加。
- 优点：
- 速度快，只需少量时钟周期。
- 缺点：
- 硬件复杂，资源占用高。
- 实现方式：
- 使用逻辑门实现。
- 可使用加法器树（如Wallace树）优化部分积的累加过程，减少延迟。
乘数位 --> 部分积生成器 --> 加法器树 --> 最终结果
被乘数位
Booth 乘法器
- 特点：
- 针对有符号数优化，减少部分积的数量。
- 通过对乘数进行编码（Booth 编码）减少操作次数。
- 优点：
- 适合处理有符号乘法。
- 可以有效减少硬件复杂度。
- 算法核心：
- 检测乘数的相邻位变化，避免逐位处理部分积。
阵列乘法器
- 特点：
- 使用一个阵列结构，将乘法分解成多个加法和移位操作。
- 优点：
- 可并行计算，提高运算速度。
- 适合在硬件中实现。
- 缺点：
- 硬件资源消耗较多。
被乘数
× 乘数
--------------
部分积阵列 --> 加法阵列 --> 最终结果
乘法器的实现步骤
部分积生成
- 通过对每位乘数和乘数位的与运算生成部分积。
部分积对齐
- 通过移位操作，使部分积对应权重正确对齐。
部分积累加
- 串行乘法器使用一个累加器逐步累加部分积。
- 并行乘法器使用多个加法器或加法器树快速完成部分积累加。
乘法器在硬件中的实现
逻辑门实现
- 使用基本的逻辑门（如与门、或门、异或门）实现部分积的生成。
- 加法器用于部分积的累加。
FPGA 或 ASIC 实现
- 在 FPGA 中，可以通过硬件描述语言（如 Verilog 或 VHDL）实现乘法器。
- 硬件平台中，现代编译器通常会将乘法优化为内置乘法器单元。
浮点数乘法器
- 对于浮点数，需要处理尾数的乘法、指数的加法，并对结果进行规格化。
示例（c++模拟乘法器）
#include <iostream>
int multiply(int multiplicand, int multiplier) {
int result = 0;
while (multiplier != 0) {
if (multiplier & 1) { // 如果当前位为1
result += multiplicand;
}
multiplicand <<= 1; // 左移乘数
multiplier >>= 1; // 右移乘数
}
return result;
}
int main() {
int a = 13, b = 11;
std::cout << "Result: " << multiply(a, b) << std::endl; // 输出 143
return 0;
}