【C语言系列】函数递归

一、递归是什么？

递归其实是一种解决问题的方法，在C语言中，递归就是函数自己调用自己。
下面我们看最简单的递归代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
printf("hehe\n");
main();
return 0;
}

运行后提示报错：

这里的代码会导致栈溢出，虽然是个错误的代码但是能够很明确的表达出递归的意思，在这里我们可以看出这个代码一直在执行打印操作，体现了函数递归的现象，但是由于死循环的打印导致了栈溢出的现象。

递归的思想： 把⼀个大型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较小的子问题来求解；直到子问题不能再被拆分，递归就结束了。即就是把大事化小的过程。
递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思。

1.1尾递归

尾递归是指一个递归函数在调用自身时，该递归调用是函数的最后一条语句。换句话说，函数在调用自身之后不再执行任何操作，而是直接返回递归调用的结果。这种特殊形式的递归称为尾递归。

二、递归的限制条件

递归在书写的时候，有2个必要条件：
①递归存在限制条件，当满足这个限制条件的时候，递归便不再继续。
②每次递归调用之后越来越接近这个限制条件。
在下面的例子中，我们逐步体会这2个限制条件

三、递归举例

3.1举例一：求n的阶乘

⼀个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。 自然数n的阶乘写作n!。

题目：计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。

分析和实现示例：
我们知道n的阶乘的公式： n！ = n ∗ (n − 1)! 举例说明： 5！ = 1 * 2 * 3 * 4 * 5； 4！ =1 *
2 * 3 * 4；即 5！就等4！* 5。
当 n==0 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过公式计算。

如图所示：

实现代码如下：

#include <stdio.h>
int Fact(int n)
{
 if(n==0)
 	return 1;
 else
 	return n*Fact(n-1);
}
int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fact(n);
 printf("%d\n", ret);
 return 0;
}

运行结果（当然这里不考虑n太大的情况，n太大存在栈溢出的现象）如图：

下面我们画图推演：

3.2举例二：顺序打印一个整数的每一位

题目：输入⼀个整数m，按照顺序打印整数的每⼀位。
比如：
输入：1234 输出：1 2 3 4
输入：520 输出：5 2 0

分析和实现示例： 怎么得到这个数的每⼀位呢？
如果n是⼀位数，n的每⼀位就是n自己。
n是超过1位数的话，就得拆分每⼀位1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4，然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推不断的%10 和 /10 操作，直到得到1234的每一位。

想到这里我们便有了思路：
把Print(1234) 打印1234每⼀位，拆解为首先Print(123)打印123的每⼀位，再打印得到的4。
把Print(123) 打印123每⼀位，拆解为首先Print(12)打印12的每⼀位，再打印得到的3。
直到Print打印的是⼀位数，直接打印就行。

代码实现如下：

void Print(int n)
{
 if(n>9)
 {
 Print(n/10);
 }
 printf("%d ", n%10);
}
int main()
{
 int m = 0;
 scanf("%d", &m);
 Print(m);
 return 0;
}

运行结果如图：

画图推演：

四、递归与迭代

递归是⼀种很好的编程技巧，但是和很多技巧⼀样，也是可能被误用的，就像举例1一样，看到推导的公式，很容易就被写成递归的形式：

int Fact(int n)
{
 if(n==0)
 	return 1;
 else
 	return n*Fact(n-1);
}

Fact函数是可以产生正确的结果，但是在递归函数调用的过程中涉及⼀些运行时的开销。
在C语言中每⼀次函数调用，都要需要为本次函数调用在栈区申请⼀块内存空间来保存函数调用期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运行时堆栈，或者函数栈帧。
函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占用，所以如果函数调用中存在递归调用的话，每⼀次递归函数调用都会开辟属于自己的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。所以如果采用函数递归的方式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢出（stackoverflow）的问题。

所以如果不想使用递归就得想其他的办法，通常就是迭代的方式（通常就是循环的方式）。
比如：计算n的阶乘，也是可以产生1~n的数字累计乘在⼀起的。

int Fact(int n)
{
 int i = 0;
 int ret = 1;
 for(i=1; i<=n; i++)
 {
	 ret *= i;
 }
 return ret;
}

上述代码是能够完成任务，并且效率是比递归的方式更好的。

4.1举例三：求第n个斐波那契数

计算第n个斐波那契数，是不适合使用递归求解的，但是斐波那契
数的问题通过是使用递归的形式描述的，如下：

看到上图我们就会想到用递归的形式去做，如下代码：

#include <stdio.h>
int Fib(int n)
{
 if(n<=2)
 	return 1;
 else
	return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fib(n);
 printf("%d\n", ret); 
 return 0;
 }

当我们n输⼊为50的时候，需要很⻓时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，这也说明递归的写法是非常低效的，那是为什么呢？

其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计算，而且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以一个测试：

#include <stdio.h>
int count = 0;
int Fib(int n)
{
 if(n == 3)
 count++;//统计第3个斐波那契数被计算的次数
 if(n<=2)
 return 1;
 else
 return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fib(n);
 printf("%d\n", ret); 
 printf("\ncount = %d\n", count);
 return 0;
}

如图所示，计算第40个斐波那契数时，需要计算 39088169次，可想而知这种方法是冗杂的，那这种问题就不适合用递归的方式来来解决问题，接下来我们使用迭代的方式来解决这个问题。

我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从小到大计算就行了。
代码如下：

int Fib(int n)
{
 int a = 1;
 int b = 1;
 int c = 1;
 while(n>2)
 {
 c = a+b;
 a = b;
 b = c;
 n--;
 }
 return c;
}

迭代的方式去实现这个代码，效率就要高出很多了。

五、拓展学习

青蛙跳台问题

问题：有一只青蛙，一次可以跳1个台阶，一次也可以跳2个台阶，问：如果跳到第n个台阶，有多少种跳法？
分析与实现问题：
这只青蛙，第一次条有两种跳法：
①跳一个台阶，剩余n-1个台阶
②跳两个台阶，剩余n-2个台阶
不难发现这是一个斐波那契数列，即用以下方法：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
int Jump(int n)
{
	if (n <= 2)
		return n;
	else
		return Jump(n - 1) + Jump(n - 2);
}
 
int main()
{
	int x = 0;
	scanf("%d", &x);
	int ret = Jump(x);
	printf("func(%d)=%d\n", x, ret);
 
	return 0;
}