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洛谷 P3853 [TJOI2007] 路标设置 C语言

article 2025/1/14 9:53:53

题目：

P3853 [TJOI2007] 路标设置 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

题目背景

B市和T市之间有一条长长的高速公路，这条公路的某些地方设有路标，但是大家都感觉路标设得太少了，相邻两个路标之间往往隔着相当长的一段距离。为了便于研究这个问题，我们把公路上相邻路标的最大距离定义为该公路的“空旷指数”。

题目描述

现在政府决定在公路上增设一些路标，使得公路的“空旷指数”最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。请注意，公路的起点和终点保证已设有路标，公路的长度为整数，并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。

输入格式

第1行包括三个数 L,N,K，分别表示公路的长度，原有路标的数量，以及最多可增设的路标数量。

第2行包括递增排列的 N 个整数，分别表示原有的 N 个路标的位置。路标的位置用距起点的距离表示，且一定位于区间 [0,L] 内。

输出格式

输出1行，包含一个整数，表示增设路标后能达到的最小“空旷指数”值。

输入输出样例

输入#1

101 2 1
0 101

输出#1

说明/提示

公路原来只在起点和终点处有两个路标，现在允许新增一个路标，应该把新路标设在距起点50或51个单位距离处，这样能达到最小的空旷指数51。

50%的数据中，2≤N≤100，0≤K≤100。
100%的数据中，2≤N≤100000，0≤K≤100000。
100%的数据中，0<L≤10000000。

思路：

1.复述题目要求，尽量使得空旷指数最小（在整条公路中，相隔路标最大的就为空旷指数），插路标最多就K个。

2.要使得空旷指数最小，意味着路标数量多。如图

路标数量是指插入的路标数量

所以可以推出

随着空旷指数的增大，插入路标的数量就要减小，题目有说过至多插入k个路标。所以我们枚举的空旷指数为了满足题目条件，就会p＞k个路标,在上面为X。上面为√,为满足条件的空旷指数为p<=k。

3.插入路标就要在数组里面增加路标有点麻烦，所以我们使用差分数组，存的是间隔路标的距离。

4.会出现间隔路标距离，插完一个路标还剩下＞当前枚举的空旷指数，我们要继续插入路标，直到该间距≤当前枚举的空旷指数

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll Q = 1e6+10;
ll L,N,K;
ll arr[Q];
ll  Dif[Q];//差值数组 
bool check(ll x)
{
	ll cnt = 0;
	for(ll i = 2 ; i <= N + 1 ; i++)//差分数组是从下标2开始存 
	{
		if(Dif[i] > x)
		{
			cnt++;
			ll num = Dif[i] - x; 
			while(num > x)//判断这个差距是否可继续划分x 
			{
				cnt++;//增加杆子 
				num -= x;
			}
		}
	}
	if(cnt <= K)
	return true;
	else
	return false;
}
int main(void)
{
	//缩短输入输出时间，可不写 
	ios :: sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	
	cin >> L >> N >> K;
	for(ll i = 1 ; i <= N ; i++)
	{
		cin >> arr[i];
		Dif[i] = arr[i] - arr[i-1]; //差分数组 
	}
	//边界设置 
	arr[N + 1] = L;
	Dif[N + 1] = arr[N + 1] - arr[N];
	ll l = 0,r = L + 1;
	while(l + 1 != r)
	{
		ll mid = (l + r) / 2;
		if(check(mid))
		r = mid;
		else
		l = mid;
	}
	cout << r;
	return 0;
 }