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高等数学学习笔记 ☞ 不定积分与积分公式

article 2025/3/1 0:43:11

1. 不定积分的定义

1. 原函数与导函数的定义：

若函数 $F(x)$ 可导，且 ${F}'(x)=f(x)$ ，则称函数 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，函数 $f(x)$ 是函数 $F(x)$ 的导函数。

备注：

①：若函数 $f(x)$ 是连续的，则函数 $f(x)$ 一定存在原函数 $F(x)$ ，反之不对。

②：因为 ${(F(x)+C)}'=f(x)$ ，所以说函数 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数。

③：根据定义，假设 $f(x)$ 的原函数分别为 $\phi (x)$ ， $\psi (x)$ ，则有 ${\phi}' (x)=f(x)$ ， ${\psi}' (x)=f(x)$ ，

根据 ${(\phi (x)-\psi (x))}'={\phi}' (x)-{\psi}' (x)=f(x)-f(x)=0$ ，可得 $\psi (x)-\phi (x)=C$ ( $C$ 为常数)。

说明函数 $f(x)$ 的原函数之间的关系仅仅是差一个常数而已。

2. 不定积分的定义：把函数 $f(x)$ 的所有原函数 $F(x)+C$ ，称为函数 $f(x)$ 的不定积分。记作： $\int f(x)dx=F(x)+C$ 。

其中： $\int$ ：积分符号； $f(x)$ ：被积函数，表示对哪个函数求积分； $x$ ：积分变量，表示对哪个变量求积分；

$f(x)dx$ ：被积式； $C$ ：积分常量。

备注：

①：求函数 $f(x)$ 的不定积分，就是求函数 $f(x)$ 的所有原函数。由定义可知，只需要求出函数 $f(x)$ 的一个原函数，再加上

任意常数 $C$ ，就可以得到函数 $f(x)$ 的不定积分。

②：求函数 $f(x)$ 的原函数，那就看哪个函数求导是 $f(x)$ 。

3. 不定积分的基础公式：

①： $\frac{d}{dx}(\int f(x)dx)=f(x)$ ②： $d[\int f(x)dx]=f(x)dx$

③： $\int {F}'(x)dx=F(x)+C$ ④： $\int dF(x)=F(x)+C$

2. 不定积分的性质

（1） $\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

（2） $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ （ $k$ 是与积分变量 $x$ 无关的）

3. 不定积分的积分公式

（1） $\int kdx=kx+C$ （ $k$ 是与积分变量 $x$ 无关的）（2） $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C(\alpha \neq -1)$

（3） $\int \frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$

（4） $\int \frac{1}{1+x^{2}}dx=\arctan x +C$ （5） $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\arcsin x +C$

（6） $\int \cos xdx=\sin x +C$ （7） $\int \sin xdx=-\cos x +C$

（8） $\int \frac{1}{\cos^{2} x}dx=\int \sec^{2}xdx=\tan x+C$ （9） $\int \frac{1}{\sin^{2} x}dx=\int \csc^{2}xdx=-\cot x+C$

（10） $\int \sec x\: \tan xdx=\sec x+C$ （11） $\int \csc x\: \cot xdx=-\csc x+C$

（12） $\int e^{x}dx=e^{x}+C$ （13） $\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(a>0,a\neq 1)$

小贴士：常用的三角函数公式：

（1）和差公式：   （2）倍角公式：

①： $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha\cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ ①： $\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos\alpha$

②： $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ ②： $\cos 2\alpha=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha=2\cos^{2} \alpha-1=1-2\sin^{2} \alpha$

③： $\tan (\alpha + \beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta}$   ③： $\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^{2} \alpha}$

④： $\tan (\alpha - \beta)=\frac{\tan \alpha - \tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta}$

（3）积化和差：   （4）和差化积：

①： $\sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}$    ①： $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

②： $\cos \alpha \sin \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )}{2}$ ②： $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

③： $\cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}{2}$   ③： $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

④： $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )}{2}$ ④： $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

（5）半角公式：（5）万能公式：

①： $\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$ ①： $\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha }{2}}$

②： $\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$    ②： $\cos \alpha =\frac{1-\tan^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha }{2}}$

③： $\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha}}$   ③： $\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-\tan^{2}\frac{\alpha }{2}}$