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高等数学学习笔记 ☞ 连续函数的运算与性质

article 2025/1/16 17:38:29

1. 连续函数的运算

1. 连续函数的四则运算：

（1）若函数 $f(x),g(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，则函数 $f(x)\pm g(x),f(x)* g(x),f(x)/ g(x)(g(x_{0})\neq 0)$ 在点 $x_{0}$ 处也连续。

（2）若函数 $f(x),g(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则函数 $f(x)\pm g(x),f(x)* g(x),f(x)/ g(x)(g(x_{0})\neq 0)$ 在区间 $I$ 上也连续。

2. 反函数的连续性：

若函数 $y=f(x)$ 在定义域 $I_{x}$ 上是单调且连续的，那么其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在定义域 $I_{y}=\left \{ y|y=f(x),x\in I_{x} \right \}$ 上

也是单调且连续的。

备注：上述声明函数 $y=f(x)$ 必须是单调的，目的是保证函数 $y=f(x)$ 存在反函数。

3. 复合函数的连续性：

已知函数 $u = g(x)$ 在 $x= x_{0}$ 处连续，函数 $y=f(u)$ 在 $u= u_{0}=g(x_{0})$ 处连续，那么函数 $f[g(x)]$ 在 $x= x_{0}$ 处连续。

与此同时，有： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f[g(x)]=f(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x))$ 。 $\Leftarrow$ 复合函数在该点连续时才能使用此公式。

备注：复合函数：通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。

4. (基本)初等函数的连续性：

（1）基本初等函数在其定义域内是连续的。（2）初等函数在其定义域内是连续的。

备注：

①：初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方以及有限次函数复合而产生，

并且可以用一个解析式表达的函数。

②：幂指函数：形如 $y=u(x)^{v(x)}$ 的函数。幂指函数不属于初等函数,属于复合函数,常用处理方式: $y=e^{ln^{u(x)^{v(x)}}}=e^{v(x)ln^{u(x)}}$ 。

2. 闭区间上连续函数的性质

1. 最值与最值点：最大值(点)与最小值(点)

（1）最大值：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$ ，存在 $x_{0}\in I$ ，对于 $\forall x\in I$ ，都有 $f(x)\leq f(x_{0})$ ，则称 $f(x_{0})$ 是函数 $f(x)$ 的最大值。

（2）最小值：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$ ，存在 $x_{0}\in I$ ，对于 $\forall x\in I$ ，都有 $f(x)\geq f(x_{0})$ ，则称 $f(x_{0})$ 是函数 $f(x)$ 的最小值。

（3）最大值点：函数 $f(x)$ 取得最大值时所对应的点，称为最大值点。

（4）最小值点：函数 $f(x)$ 取得最小值时所对应的点，称为最小值点。

备注：

①：函数 $f(x)$ 的最大值与最小值是可以不存在的，比如单调函数在区间端点无定义。

②：若函数 $f(x)$ 的最大值与最小值存在，那么最大值和最小值是唯一的，是可以相等的，但最大值要大于等于最小值。

③：若函数 $f(x)$ 的最大值与最小值存在，那么最大值点和最小值点不一定是唯一的。

2. 闭区间上连续函数的性质：

（1）最大值和最小值定理：在闭区间上连续的函数，一定存在最大值和最小值。

（2）有界性定理：在闭区间上连续的函数，在该区间上一定有界。

（3）零点定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，若 $f(a),f(b)$ 是异号的(即： $f(a)*f(b)<0$ )，