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力扣经典练习题之70.爬楼梯

article 2025/1/17 4:15:15

今天继续给大家分享一道力扣的做题心得今天这道题目是70.爬楼梯

题目如下：

题目链接：70.爬楼梯

1，题目分析

这个题目是一个经典的动态规划问题，它帮助我们理解如何通过分解问题来找到解决方案。在现实生活中，很多复杂的问题都可以通过这种方式来简化解决，比如在规划路线、资源分配等方面。问题分析： 题目设定我们正在爬楼梯，需要爬 n 个台阶才能到达顶部。每次可以爬 1 个或 2 个台阶。有多少种不同的方法可以爬到顶部

2，解题思路

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int [] dp = new int [n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
        
    }
}

这个问题可以通过递归或动态规划来解决。递归方法直观但效率较低，因为它会重复计算很多子问题。动态规划方法通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高效率。

题解代码分析

我的代码使用动态规划的方法来解决这个问题。具体关键步骤如下：

初始化：创建一个数组 dp，其中 dp[i] 表示到达第 i 个台阶的方法数。初始化 dp[0] = 1 和 dp[1] = 1，因为到达第 0 个台阶（地面）和第 1 个台阶都只有一种方法。
填充数组：从第 2 个台阶开始，到第 n 个台阶，每个台阶的方法数是前两个台阶方法数的和。即 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
返回结果：最后，dp[n] 就是到达第 n 个台阶的方法数。

代码难点

理解动态规划的状态转移方程：这是代码中最核心的部分，理解为什么 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 是解决这个问题的关键。这实际上是一个斐波那契数列问题，因为每一步的状态都依赖于前两步的状态。
数组的初始化：正确初始化 dp[0] 和 dp[1] 是非常重要的，因为这是动态规划的基础。如果初始化不正确，整个算法的结果都会出错。
空间优化：虽然我的这个代码已经比较高效，但还可以进一步优化空间复杂度。例如，可以只使用两个变量来存储前两个状态，而不是一个完整的数组，即状态压缩，这是一种比较高阶的做法，比较难以理解不太适合我们初学者来使用。

使用动态规划解决这个问题的好处：

效率高：避免了重复计算，通过存储中间结果，大大提高了计算效率。对于较大的 n，这种方法比递归方法快得多。
易于理解：通过分解问题，使得问题的解决方案更加直观和容易理解。每个步骤都有明确的物理意义，即到达某个台阶的方法数。
可扩展性强：这种方法可以很容易地扩展到更复杂的问题，例如每次可以爬 1、2 或 3 个台阶的情况。

难点分析

理解动态规划的概念：对于我们初学者来说，理解动态规划的状态转移方程可能比较困难。需要理解每个状态是如何依赖于前几个状态的，然后依此来构建对应的正确的状态转移方程。
边界条件的处理：正确处理边界条件（如 dp[0] 和 dp[1]）是确保算法正确运行的关键。在实际编程中，边界条件的错误是常见的错误来源。
空间优化：虽然这个代码已经比较高效，但理解如何进一步优化空间复杂度（例如使用两个变量代替数组）也是一个挑战。