算法随笔_6: 下一个排列

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题目描述如下:

整数数组的一个 排列  就是将其所有成员以序列或线性顺序排列。

• 例如，arr = [1,2,3] ，以下这些都可以视作 arr 的排列：[1,2,3]、[1,3,2]、[3,1,2]、[2,3,1] 。

整数数组的 下一个排列 是指其整数的下一个字典序更大的排列。更正式地，如果数组的所有排列根据其字典顺序从小到大排列在一个容器中，那么数组的 下一个排列 就是在这个有序容器中排在它后面的那个排列。如果不存在下一个更大的排列，那么这个数组必须重排为字典序最小的排列（即，其元素按升序排列）。

• 例如，arr = [1,2,3] 的下一个排列是 [1,3,2] 。
• 类似地，arr = [2,3,1] 的下一个排列是 [3,1,2] 。
• 而 arr = [3,2,1] 的下一个排列是 [1,2,3] ，因为 [3,2,1] 不存在一个字典序更大的排列。

给你一个整数数组 nums ，找出 nums 的下一个排列。

必须 原地 修改，只允许使用额外常数空间。

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解题思路:

根据题目要求已知一个整数的排列，需要求出按字典序的下一个排列。也就是说，找到下一个比当前这个数更大的数，且这两个数要紧挨着。例如下面这些按字典序的排列:

12345

12354

12435

12453

12534

...

54321

首先，我们需要保证数值是增大的。

其次，要保证数值是逐渐增大的。

如何保证第一点呢？很明显，降序的排列肯定比升序的排列数值大。

如何保证第二点呢？我们一起来看一下下面的分析：

上面第一行"12345"，45是升序，那好，我们交换一下它俩让其变为降序54就可以了。

第二行"12354"，从右往左看，54本身就是降序，说明最后两位的字典序排列已经是最大数了，我们需要继续往左找，发现是35升序，从这儿开始，我们需要把后三位重新排列，并且要保证数值是逐渐增大。重新排列的原则就是从后面两位中找一个比3大的最小数，然后剩下的两位需要按升序排列。这样就变成了12435。这个例子可能不明显，我们换一个例子，比如: 12398，它的下一个就是12839。这里大家可能有个疑问，刚才我们提到降序能保证数值增大，这里为什么又按升序排列？因为我们既要保证数值增大，而且要保证数值是逐渐增大的。既然，需要变动的后三位的高位已经变大，那这个数值一定比以前的数值大。但要保证逐渐增大，所以剩下的低位按照升序排列。

到此时，算法的雏形已经基本完成，给定一个排列，我们就可以按照这个原则去重新排列，即可得到下一个大数。

剩下的问题我们就需要考虑算法的效率问题了。算法涉及三个阶段:

第一阶段，从后往前找到需要变动的最少位数。这个问题一次迭代就能搞定。从后往前的数字需要不断变大，爬升，当发现数字变小，下降时，即找到了需要变动的位数。我们可以用一个指针p来做这一步。

第二阶段，需要从p指针所指数字num后面的位数中找一个比num大的最小数。然后两者交换。

第三阶段，我们需要把剩余的位数做升序排列。因为此时num后面的位数仍然保持降序，所以两两首尾交换，即可。

整个算法，我们只使用了一个tmpNum的变量，来临时存储交换时的值，因此符合题目要求的“原地”修改数组，只使用额外常数空间。算法时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。

以下是Python版的代码：

class Solution:
    def swap(self, nums, i, j):
        tmpNum=nums[i]
        nums[i]=nums[j]
        nums[j]=tmpNum

    def nextPermutation(self, nums):
        num_len=len(nums)
        p1=0
        p2=0
        #第一阶段，从后往前找到需要变动的最少位数，p1指向降序的最高位，因此需要增大的是p1-1下标处
        for i in range(1, num_len):
            num2=nums[num_len-i]
            num1=nums[num_len-i-1]
            if num1<num2:
                p1=num_len-i
                break
        if p1>0:
            #如果p1>0, 第二阶段，需要从nums[p1-1]后面的位数中找一个比nums[p1-1]大的最小数
            #如果p1==0 表示整个数组就是降序排列，直接跳过此步骤
            for i in range(p1, num_len):
                if nums[p1-1]>=nums[i]:
                    p2=i
                    break
            self.swap(nums, p1-1, p2-1) #找到后交换位置
        #第三阶段，我们把剩余的位数，做升序排列。因为本身就是降序列，所以两两首尾交换，即可。
        cnt=int((num_len-p1)/2)
        for i in range(cnt):
            self.swap(nums, p1+i, num_len-i-1)
# 示例用法
solution = Solution()
#nums=[1,2,3,9,8,6,1]
#nums=[1,1,1]
#nums=[5,4,3,2,1]
nums=[1,5,1]
solution.nextPermutation(nums)
print(nums)