使用numpy求解线性代数相关问题

在numpy中有numpy.array类型和numpy.mat类型，前者是数组类型，后者是矩阵类型。数组类型相乘是逐元素相乘，而矩阵类型相乘则是矩阵乘法。

以下使用numpy.array类型来进行线性代数问题求解。

矩阵的转置：

A.T

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

A_T = A.T
print(A_T)

矩阵乘法：

np.dot(A, B)或者是A @ B

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
C = np.dot(A, B)
print(C)
D = A @ B
print(D)

逆矩阵：

np.linalg.inv(A)

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

inv_A = np.linalg.inv(A)
print(inv_A)

求解行列式：

np.linalg.det(A)

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

det_A = np.linalg.det(A)
print(det_A)

矩阵的秩和迹：

矩阵的秩是矩阵线性无关的行（或列）的最大数目，它反映了矩阵的“非零度”。矩阵的迹则是其主对角线上元素之和。

求解矩阵的秩：np.linalg.matrix_rank(A)

求解矩阵的迹：np.trace(A)

求解矩阵的迹，用于计算矩阵主对角线上元素的总和，较为通用。所以没有在linalg模块。

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

rank_A = np.linalg.matrix_rank(A)
print(rank_A)

tr_A = np.trace(A)
print(tr_A)

解线性方程组：

np.linalg.solve(A, b)

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

b = np.array([1, 2])
# A x = b
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)

计算特征值和特征向量：

特征值，特征向量 = np.linalg.eig(A)

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print(eigenvalues)
print(eigenvectors)

奇异值分解：

奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称 SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法。它将一个矩阵分解为三个特定的矩阵乘积，这些矩阵具有明确的几何和代数意义。对于任意一个 $m\ast n$ 的实数矩阵 A，其奇异值分解可以表示为：
$$A=US{V}^T$$
U, S, Vt = np.linalg.svd(A)

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

U, S, Vt = np.linalg.svd(A)
print(U,S,Vt)