# [0114] Task01 《数学建模导论》P1 解析几何与方程模型

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绪论

姜启源：“数学建模就是建立数学模型解决实际问题”

本质还是解应用题，只是曾经的“小明买糖”变成了如今的“嫦娥探月”。

SEIR 模型，也就是传染病模型，我们把人群分为易感人群、密切接触者、感染者和康复者四类人群，这四类人群的新增、减少都遵循着动力系统的一些规律

“一个教室里面的同学如果封锁了教室传染病会如何传染”
元胞自动机

好模型：

• 形式简洁：模型不至于太冗长，大道至简。
• 精度到位：求解精度符合工程实际的要求。
• 理论创新：在理论层面上进行一些创新。
• 排除干扰：能够排除一些无关紧要的干扰项。
• 可解释性：模型的结果有良好的可解释性。
• 求解方便：模型能够利用 MATLAB 等求解工具进行求解。

问题类型大致可以分为 “以模型为核心” 的优化类、过程类问题，与 “以数据为核心” 的统计类、分析类问题。

第 1 章 解析方法与几何模型

学会如何使用代码求解一些简单的模型

常见立体几何模型与平面几何模型

计数用以表示多少，要计算多了多少少了多少，于是有了数字的概念和四则运算，也就有了后来的代数学；
丈量是测量土地的长宽面积、测量角度、分析几何关系等，也就有了后来的几何学。

传统几何的演绎-证明体系
基于向量的计算化几何
基于极坐标与方程的解析几何

正弦定理 和 余弦定理

正弦定理：一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的 2 倍）长度。
链接
在任意 △ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，三角形外接圆的半径为 R，直径为 D。则有：
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$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=D$
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余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积‌

圆的切线与割线

切割线定理（也称为割线-切线定理）：如果一条直线从外部点 P 切割圆，形成一条切线段 PT 和一条割线段 PAB（A 和 B 是割线与圆的交点），那么 PT${}^2$ = PA⋅PB 。
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割线定理：
链接
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圆幂定理：对于任意一点到圆的两条切线，它们的长度是相等的。对于任意一条经过该点的割线，割线的两段长度的乘积是一个常数，这个常数等于该点到圆心的距离的平方减去圆的半径的平方。
〔 上图中假设 点 O 为圆心，则 △ LTO 为直角三角形。
则 LA · LB = LC · LD = LT${}^2$ = LO${}^2$ - OT${}^2$ 〕
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切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。即如图，AB、AC 切圆 O 于B、C，切线长 AB = AC。链接
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四点共圆

四点共圆
链接
9 种判定方法
1、距点相等，四点共圆
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该方法可称为定义法。
几何语言：
∵OA = OB = OC = OD
∴A,B,C,D 四点共圆
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2、对角互补，四点共圆
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该判定是圆内接四边形性质定理的逆定理。
几何语言：
∵∠B + ∠D = 180°
∴A,B,C,D 四点共圆
————————————————
3、外角等于内对角，四点共圆
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该判定是由判定 2 再加上邻补角的性质（或平角的性质）得到。
几何语言：
∵∠DCE = ∠A
∴A,B,C,D 四点共圆
————————————————
4、共边同侧对角等，四点共圆
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可由判定 2 导出，也可结合圆周角定理来理解。
几何语言：
∵∠B = ∠D
∴A,B,C,D 四点共圆

椭圆、双曲线、抛物线

椭圆的每一点到两个焦点的距离之和是一个常数；
双曲线的每一点到两个焦点的距离之差的绝对值是一个常数；
抛物线上的每一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
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圆锥曲线的离心率
离心率（eccentricity），又叫偏心率，统一定义是在圆锥曲线中，动点到焦点的距离 和 动点到准线的距离之比。　
描述了圆锥曲线的形状。

• 对于椭圆，离心率 e 满足 $0⩽e<1$； $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-(\frac{b}{a}{)}^2}$
• 对于双曲线 $e>1$； $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$
• 对于抛物线 $e=1$。

离心率越小，椭圆越接近圆形；离心率越大，双曲线的两支越开。
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圆锥曲线的光学性质
椭圆上的任意一点反射到两个焦点的光线路径长度相等；抛物线上的任意一点反射到焦点的光线都平行于对称轴；双曲线上的任意一点反射到一个焦点的光线将经过另一个焦点。
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链接
1、从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。
2、从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。
3、从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。
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位姿变化的角度描述： Yaw-Pitch-Roll

确定坐标系方向的右手定则：