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二叉树的深度

article 2025/1/26 15:29:16

二叉树深度的定义：
- 二叉树的深度（高度）是指从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。例如，一个只有根节点的二叉树，其深度为1；如果根节点有两个子节点，且每个子节点又分别有两个子节点，那么这个二叉树的深度为3。
计算二叉树深度的方法：
- 递归方法：
  - 递归是解决二叉树问题的常用方法。对于二叉树深度的计算，其递归的思想是：二叉树的深度等于其左子树和右子树深度的最大值加1。
  - 以下是使用Python实现的代码：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right


def max_depth(root):
    if not root:
        return 0
    left_depth = max_depth(root.left)
    right_depth = max_depth(root.right)
    return max(left_depth, right_depth)+1


# 示例用法
# 创建一个简单的二叉树
root = TreeNode(3)
root.left = TreeNode(9)
root.right = TreeNode(20)
root.right.left = TreeNode(15)
root.right.right = TreeNode(7)
print(max_depth(root))

层序遍历方法：
- 层序遍历二叉树可以通过队列来实现。在遍历过程中，记录遍历的层数，最后一层的层数就是二叉树的深度。
- 以下是使用Python实现的代码：

from collections import deque


class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right


def max_depth(root):
    if not root:
        return 0
    queue = deque([root])
    depth = 0
    while queue:
        level_size = len(queue)
        for _ in range(level_size):
            node = queue.popleft()
            if node.left:
                queue.append(node.left)
            if node.right:
                queue.append(node.right)
        depth += 1
    return depth


# 示例用法
# 创建一个简单的二叉树
root = TreeNode(3)
root.left = TreeNode(9)
root.right = TreeNode(20)
root.right.left = TreeNode(15)
root.right.right = TreeNode(7)
print(max_depth(root))

复杂度分析：

以下是使用其他编程语言（如Java、C++）来计算二叉树深度的示例：

Java实现

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    TreeNode(int x) { val = x; }
}

public class BinaryTreeDepth {
    public static int maxDepth(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int leftDepth = maxDepth(root.left);
        int rightDepth = maxDepth(root.right);
        return Math.max(leftDepth, rightDepth) + 1;
    }

    public static void main(String[] args) {
        TreeNode root = new TreeNode(3);
        root.left = new TreeNode(9);
        root.right = new TreeNode(20);
        root.right.left = new TreeNode(15);
        root.right.right = new TreeNode(7);
        System.out.println(maxDepth(root));
    }
}

C++实现

#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;

// 定义二叉树节点结构
struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

// 递归方法计算二叉树深度
int maxDepthRecursive(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) {
        return 0;
    }
    int leftDepth = maxDepthRecursive(root->left);
    int rightDepth = maxDepthRecursive(root->right);
    return max(leftDepth, rightDepth) + 1;
}

// 层序遍历方法计算二叉树深度
int maxDepthLevelOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) {
        return 0;
    }
    queue<TreeNode*> q;
    q.push(root);
    int depth = 0;

    while (!q.empty()) {
        int levelSize = q.size();
        for (int i = 0; i < levelSize; ++i) {
            TreeNode* node = q.front();
            q.pop();
            if (node->left) {
                q.push(node->left);
            }
            if (node->right) {
                q.push(node->right);
            }
        }
        depth++;
    }
    return depth;
}

int main() {
    TreeNode* root = new TreeNode(3);
    root->left = new TreeNode(9);
    root->right = new TreeNode(20);
    root->right->left = new TreeNode(15);
    root->right->right = new TreeNode(7);

    cout << "递归方法计算的深度: " << maxDepthRecursive(root) << endl;
    cout << "层序遍历方法计算的深度: " << maxDepthLevelOrder(root) << endl;

    return 0;
}

不同方法的应用场景

递归方法：
- 代码简洁明了，逻辑清晰，非常适合处理树结构的问题，因为树本身就是递归定义的。对于简单的二叉树深度计算，递归方法很容易理解和实现。
- 但在处理非常大的二叉树时，由于递归调用会占用栈空间，如果二叉树非常深（特别是在最坏情况下，二叉树是一条链），可能会导致栈溢出问题。
层序遍历方法：
- 层序遍历方法直观地按照树的层次来处理节点，在计算深度时更加直接。不需要额外的递归调用栈空间，因此在处理非常大的二叉树时更加稳健，不会出现栈溢出的问题。
- 缺点是代码相对复杂一些，需要使用队列来辅助实现层序遍历，理解和编写的难度稍高。