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2025年美赛(MCM/ICM)赛题浅析——助攻快速选题

article 2025/1/26 22:28:18

长达99小时的2025年美赛正式开赛。为了能在未来的96个小时将整体效率最大化，这里我们为大家带来赛题浅析，争取用十分钟左右的时间让大家快速熟悉每个题目，在今天上午完成初步选题。首先是带来一图流，一张图了解本次竞赛的六个题目

赛题难度比例(MCM\ICM 不同一类型无法直接比较)

A:B:C =2 :1.5:1

D:E:F =2.3:1.8:1.4

选题人数预估

A:B:C =0.3:0.6:1

D:E:F =0.2:0.5:1

A Testing Time: The Constant Wear On Stairs

这是一个关于楼梯磨损模式的数学建模问题，目标是通过研究楼梯的磨损情况来推断其使用模式和历史信息。题目给出了几方面的基本问题，包括楼梯使用频率、使用方向、多人同时使用等，并提供了一些额外的问题，如修复、材料来源、以及磨损是否与假设一致等。

首先，我们需要理解题目中的核心问题和需要建模的变量：

l磨损模式：楼梯的磨损模式是由于长期的使用造成的，包括磨损的程度、位置、方向等。

l使用频率：我们需要从磨损情况中推断楼梯的使用频率，即楼梯被使用的次数和频率。

l使用方向：不同方向的使用可能导致不同的磨损模式，需要从磨损情况推测楼梯的使用方向。

l多人同时使用：楼梯的磨损情况可能反映出多人同时上下楼的情况，比如两个人并排走的磨损和一个人单独走的磨损不同。

根据题目给出的要求，我们需要回答以下问题：

a. 如何估计楼梯的使用频率？

模型思路：可以通过测量楼梯的磨损深度与磨损区域的分布来估计使用频率。频繁使用的区域通常磨损较深。我们可以通过建立一个磨损深度与时间的关系模型来估算楼梯使用的频率。假设每个用户每次使用楼梯时造成一定的磨损量，利用这些磨损数据，我们可以推算出楼梯被使用的总次数。

b. 如何判断使用的方向？

模型思路：楼梯的磨损通常是非对称的，尤其是在有明显人流方向的情况下。如果大多数人都倾向于从一个方向上楼（例如，主入口处），则该方向上的磨损可能更为严重。可以通过对磨损区域的统计分析，找出磨损最严重的一侧，并假设这就是主要的使用方向。

c. 如何推测多人同时使用楼梯？

模型思路：如果楼梯的磨损分布较为均匀，且多个区域的磨损较深，则可能意味着多人同时使用楼梯（例如并排上下楼）。如果磨损局限于某一条窄的区域，可能表明楼梯通常是单人使用。通过分析磨损区域的宽度和深度，可以初步推测是否多人并排使用楼梯。

辅助问题

a. 磨损是否与已有的信息一致？

模型思路：可以根据历史资料（如楼梯建造的年代、使用频率等）与磨损情况进行对比。如果磨损程度符合预期，则说明楼梯的使用模式与历史记录一致；反之，可能需要进一步分析其原因。

b. 如何判断楼梯的年龄及其可靠性？

模型思路：结合楼梯的材质和磨损情况，可以推测其年龄。例如，石材楼梯的磨损可能需要更长的时间才能产生显著变化，木材楼梯则相对较快。通过对磨损深度和形态的统计分析，我们可以构建一个年龄估计模型。

c. 如何判断楼梯是否有修复或翻新？

模型思路：修复的楼梯通常会有不均匀的磨损模式，可能会出现新旧材质交替的情况。如果某些区域的磨损明显不同于其他区域，或者使用了与原始材质不同的材料（例如补充了新的石材或木材），则可能是翻新过的楼梯。

d. 如何判断材料的来源？

模型思路：通过对楼梯磨损的分析，结合材料的特性（如石材的硬度、木材的纹理等），可以推测出材料的来源。例如，某些石材的磨损模式可能与特定的矿石或采石场的材料相关。

e. 如何推测楼梯的使用人数？

模型思路：可以通过测量楼梯的磨损区域和深度，推测每天的使用人数。大面积的磨损通常表明使用频率较高，可以通过这些数据估算出平均每日使用人数。

可能涉及模型(初步建议、详细建议请见该题目后续更新超详细解题思路)

· 数据采集：首先，需要从楼梯上收集磨损数据，包括磨损深度、磨损形态、磨损分布等。

· 统计分析：通过对收集到的数据进行统计分析，找出磨损模式和规律。

· 回归分析：可以通过回归分析建立磨损与使用频率、人数等之间的关系。

· 优化模型：根据数据的特点，可以使用最小二乘法或其他优化算法来拟合磨损模型。

B Managing Sustainable Tourism

这个问题要求我们为阿拉斯加州的朱诺市（Juneau）设计一个可持续的旅游业管理模型，旨在平衡游客数量与当地社区和自然资源的可持续性。朱诺面临的主要问题包括游客数量的过度增长、自然景点（如门登霍尔冰川）的退缩、基础设施压力、居民的生活成本等。我们需要开发一个模型，优化旅游业的可持续发展，同时考虑财政收入的再投资如何反馈促进可持续旅游。模型还需要包括敏感性分析，分析哪些因素对可持续旅游最为关键，并讨论如何将模型应用到其他地区。

问题分析

朱诺的主要问题是旅游业对当地的影响，包括：

过度旅游（Overtourism）：游客数量过多导致的资源过度消耗（如水资源、废物管理等）、自然景点退缩（如冰川融化）以及当地居民生活质量下降。

财政收入与负担：游客为当地带来经济收益，但也带来了巨大的负担，尤其是基础设施的压力。

可持续发展：需要在维持经济收益与保护自然资源、提升当地居民生活质量之间找到平衡。

建模目标与约束

优化目标：

最大化旅游收入：保持适当的游客数量，同时保证城市收入的最大化。

优化旅游人数：限制游客数量以减少对自然环境（如冰川）的负面影响，同时避免对当地居民生活质量造成过大影响。

提高居民幸福感：考虑游客对居民生活的影响，避免过度拥挤和生活成本的上涨。

主要约束：

环境保护：限制游客数量和活动对自然景点（如门登霍尔冰川）的影响。

基础设施容量：限制游客数量不超过当地基础设施的承载能力，包括水、电、交通等。

居民满意度：控制游客数量，确保不对居民的生活质量造成过度负面影响。

收入和支出：

收入来源：游客门票、旅游税、住宿税等。

支出方向：

- 投入基础设施建设：如改善交通、增设公共设施等。

- 投入环境保护和保育工作：如冰川保护、生态恢复等。

- 社区发展：如提升居民福利、改善住房条件等。

可持续旅游模型设计

a. 游客数量与收入模型

我们可以使用以下基本模型来描述游客数量、收入和成本之间的关系：

b. 环境与社会反馈

通过设定预算和反馈机制，我们可以让增加的收入用于以下领域：

基础设施和社区改善：例如，改善交通网络，减少拥堵，提升居民生活质量。

生态保护与修复：例如，采取措施保护冰川，恢复自然景点等。

游客管理：例如，通过提高门票价格或设置游客数量上限来平衡游客流量。

c. 敏感性分析

我们需要进行敏感性分析，测试不同因素对模型结果的影响。关键因素包括：

游客数量（T）：如何在提高收入的同时控制游客数量。

环境保护措施（R）：采取哪些措施能够有效减少环境破坏。

税收和费用（C）：适当的税收和费用对收入的影响，如何平衡增加收入与防止游客流

给旅游委员会的建议：一页简报

简报内容：

主题：关于朱诺市可持续旅游业的建议

尊敬的旅游委员会成员：

根据我们的分析，朱诺市面临的主要挑战是如何平衡游客数量与城市的可持续发展。为实现这一目标，我们提出以下建议：

1. 实施游客数量上限：通过限制每日游客数量，减轻对冰川等自然景点的压力，并保护当地生态环境。

2. 增加税收和费用：适当提高旅游税和住宿费，以增加财政收入，用于基础设施和生态保护项目。

3. 优化游客体验：通过提升其他景点（如鲸鱼观赏和雨林）的吸引力，分散游客流量，避免集中在单一景点。

4. 再投资收入：将增加的税收和门票收入投入基础设施建设、环境保护和社区发展，以提升居民生活质量，并创造良好的游客体验。

通过这些措施，我们相信朱诺市可以实现长期的旅游收入增长，同时保护自然资源，提升居民幸福感，并维持旅游业的可持续发展。

敬上，

[您的名字]

[日期]

C Models for Olympic Medal Tables

这道题目要求我们建立一个模型来预测奥林匹克奖牌榜的结果，并分析哪些国家可能在未来的比赛中表现更好，哪些国家的表现可能较差。此外，还需要探讨哪些运动最能影响各国的奖牌数，并分析“伟大教练效应”是否对某些国家的奖牌数产生了显著影响。

1. 建立奖牌数预测模型

a. 数据分析与预处理

我们会使用给定的数据（奥运奖牌表、各国的奥运表现历史数据、比赛项目的数量和种类等）来建立一个预测模型。首先需要进行数据清洗和预处理，确保数据的准确性和一致性。然后，我们需要通过以下方式分析数据：

奖牌与比赛数量关系：分析不同奥运会的奖牌数与比赛项目的数量、种类的关系。特定运动和项目的增加或减少可能直接影响到奖牌的分布。

各国奖牌历史：分析不同国家在过去奥运会中的奖牌表现，尤其是金牌、银牌、铜牌的变化趋势。

b. 建立回归模型

通过回归模型（如线性回归、多项式回归、岭回归等），我们可以根据过去的数据预测未来的奖牌数。具体步骤如下：

- 设定目标变量：金牌数、总奖牌数。

- 自变量：包括过去的奖牌数、比赛项目数、各国的历史表现等。

- 模型选择：考虑到历史数据的非线性和复杂性，可以选择多项式回归模型或岭回归来减小模型的过拟合问题。

c. 不确定性与预测区间

我们将使用统计方法（例如置信区间或预测区间）来评估模型的不确定性。这将帮助我们给出每个国家在2028年洛杉矶奥运会奖牌数的预测区间。例如，我们可以使用Bootstrap方法进行模型的重采样，从而获得每个国家的奖牌预测区间。

d. 为未获奖国家预测奖牌

我们的模型不仅仅关注历史上获得奖牌的国家，还应当为那些历史上未获得奖牌的国家提供预测。我们可以基于以下因素进行预测：

- 这些国家在过去奥运会中的表现（即使未获得奖牌，是否有接近奖牌的表现）。

- 这些国家的运动项目发展情况。

- 国家运动员的训练水平、竞争力和资源投入。

2. 奥运赛事与奖牌数的关系

a. 赛事数量与奖牌分布

在每一届奥运会上，比赛项目的数量和种类直接影响奖牌的分布。我们将分析各国在不同赛事类型中的表现：

传统强项：例如，游泳、田径、举重等是许多国家的强项。

新兴项目：新的比赛项目（如滑板、冲浪等）可能影响奖牌分布，尤其是对于某些国家。

b. 主办国对奖牌数的影响

主办国的成绩通常会有所提高。我们将分析主办国奖牌数的历史趋势，并建立模型，探讨主办国是否会因“主场效应”而获得更多奖牌。

3. “伟大教练效应”分析

a. 教练效应分析

我们将分析数据中是否存在明显的“伟大教练效应”。一些著名的教练（如Lang Ping、Béla Károlyi）在不同国家的执教可能带来了显著的成绩提升。我们将选择三个国家，分析它们在特定运动项目上的表现，探讨是否与著名教练的加入相关。

选择的国家：可以选择美国、俄罗斯和中国作为例子。

分析方法：查看是否有某些特定运动项目在著名教练执教后显著提升，建立回归模型来量化教练效应。

b. 教练投资的回报

我们可以基于历史数据估计“伟大教练”对国家奖牌数的贡献，考虑哪些运动项目对教练投资回报最高。通过对比不同国家在不同项目中的表现，找出哪些项目对国家的奥运奖牌贡献最大。

4. 预测2028年洛杉矶奥运会奖牌数

使用上述回归模型，结合未来四年内可能的运动项目变化、国家运动员的发展和训练情况，我们可以给出2028年奥运会奖牌数的预测。我们将提供：

- 每个国家的奖牌预测值。

- 各国在金牌和总奖牌数上的预测区间。

- 各国表现变化的可能趋势：哪些国家可能表现更好，哪些国家可能出现下降。

D A Roadmap to a Better City

这个问题要求我们使用交通网络模型来评估并推荐改进巴尔的摩市交通网络的方案。巴尔的摩面临着老化基础设施、交通选择有限、不同利益相关者需求的冲突等问题，尤其是由于交通网络不完善导致的经济发展滞后和居民生活质量受限。以下是我们针对该问题的分析和建模思路：

1. 交通网络建模与数据分析

为了进行有效的交通网络分析，我们首先需要构建一个包含城市不同交通元素（如街道、桥梁、公共交通等）的网络模型。这个模型能够帮助我们评估交通事件、项目改进等对巴尔的摩市居民生活和不同利益相关者的影响。

a. 网络建模

交通网络可以被表示为一个图（Graph），其中：

节点（Nodes）代表交叉口、公交车站、铁路站、城市区域等。

边（Edges）代表道路、桥梁、铁路线路等，带有权重，权重表示交通量（如车流量、行人流量）、行驶时间或旅行成本。

- 网络中的交通流量可以基于提供的街道段车辆计数数据进行建模，并考虑不同交通方式的影响（如汽车、公交车、行人）。

b. 数据预处理

使用提供的数据（如车辆流量、交通拥堵、桥梁位置、公交车和铁路网络等）对巴尔的摩交通系统进行建模，处理可能的数据缺失、异常值，确保数据的准确性，并为后续建模提供可靠的基础。

2. 问题1：Francis Scott Key Bridge塌陷的影响

a. 建模桥梁塌陷的影响

Francis Scott Key Bridge是巴尔的摩交通系统的重要组成部分。桥梁的塌陷导致了城市交通的严重干扰，尤其是港口和市区之间的通行。我们可以使用网络模型分析：

交通流量变化：由于桥梁关闭，流量可能会转移到其他桥梁或街道上，导致局部区域的交通拥堵。

经济影响：货运、港口物流等受到影响，可能导致经济活动的延迟或额外成本。

公共交通替代方案：可以模拟桥梁关闭后，公共交通（如巴士）在提供替代运输服务方面的作用，并评估公交线路的增加或调整对居民出行的影响。

b. 各利益相关者的影响

居民：交通时间增加、出行不便，尤其是对于依赖私家车的居民。

商家与港口：物流延误和运输成本增加。

游客：可能影响通往旅游景点的流动性，特别是在港口附近的游客。

政府与城市规划者：需要寻找替代方案，并进行桥梁修复。

3. 问题2：影响巴士或行人步道系统的项目

a. 选择影响巴士和步道系统的项目

巴尔的摩市的步道和巴士系统对于城市居民尤其重要。一个潜在的改善项目是增加公交车路线或改善步行街道系统，特别是对于市中心到社区的连接。

巴士系统改进：通过增加巴士路线或增加公共交通班次，提高公交服务的覆盖面和准时性，缓解私家车交通压力。

步行系统改进：改善步道建设，确保城市各个区域的行人能够安全方便地出行。

b. 网络模型分析

我们可以通过网络模型模拟改进后的巴士和步道系统，评估改进措施对不同区域居民的影响：

交通流量改善：更高效的公交系统可能减少居民的私家车依赖，缓解市区的交通拥堵。

居民出行效率：步道和公交系统的改善将提高居民的出行效率，尤其是低收入社区居民的出行便利。

c. 各利益相关者的影响

居民：更便捷的公共交通和安全的步行通道将提升居民的生活质量，尤其是对老年人和低收入家庭有较大帮助。

企业：改善交通可促进顾客流动，提升商业活动。

政府与城市规划者：需要协调资金投入和规划，以平衡不同交通模式的需求。

4. 问题3：推荐一个最能改善居民生活的交通项目

根据对交通系统的分析，我们提出以下建议的交通改进项目：建立跨区域的轻轨或地铁线路，连接城市中心和周边社区，特别是连接港口、商业区和住宅区。

a. 居民的好处

便捷出行：居民将能够更方便、快速地从城市周边区域前往市中心，减少出行时间。

减少交通拥堵：更多的人选择公共交通，减少私家车使用，缓解城市的交通压力。

环境效益：通过减少私家车使用，降低城市的碳排放和空气污染。

b. 其他利益相关者的影响

商家：改进后的交通系统可以吸引更多顾客和商业机会，促进经济活动。

游客：更便捷的交通可增加游客的流动性，提升旅游体验。

政府与城市规划者：有助于推动城市可持续发展，符合绿色城市目标。

c. 对其他交通需求的干扰

施工期间的交通中断：在建设地铁或轻轨时，可能需要暂时封闭某些街道，造成短期的交通不便。

预算限制：大型交通项目需要大量资金，可能影响其他公共设施的投资。

E Making Room for Agriculture

这个问题要求我们构建一个模型，追踪森林转化为农业系统的生态变化，并考虑自然过程与人为决策对生态系统的影响。我们需要建模森林转变为农田的过程，并分析随着物种逐步回归、农业实践的变化和生态系统恢复的进程，如何实现可持续农业。这一模型不仅要考虑化学品使用的影响，还需要考虑有机农业的潜力和经济可行性。

1. 模型的构建：从森林到农田的生态系统转变

a. 当前生态系统的模型

我们首先需要构建一个新的农业生态系统模型，作为森林转化后的初始状态。该模型将包括以下几个主要成分：

生产者：主要为农作物（如玉米、小麦、大豆等）。

消费者：

初级消费者：包括食草性昆虫（如蚜虫）和一些小型动物（如兔子等）。

次级消费者：食肉昆虫（如捕食蚜虫的瓢虫）和一些小型鸟类。

顶级消费者：大型鸟类、蝙蝠等食物链顶端的捕食者。

季节性变化：农业生态系统与自然生态系统不同，农业有季节性，种植周期和收割周期会对食物链产生影响。农作物的生长周期会影响植物的生产能力，而农业管理（如播种、收割等）会影响该区域的生物多样性。

化学品的使用：使用除草剂和杀虫剂会影响作物健康、昆虫种群以及其他物种（如蝙蝠、鸟类）的生存。除草剂会减少植物的多样性，而杀虫剂则会直接杀死有益昆虫（如瓢虫、蜜蜂等）。

b. 物种的回归

随着农业系统逐渐发展并改变，逐步恢复的边缘栖息地将会吸引一些本地物种回归。我们可以选择两种物种进行模拟，分析它们对生态系统的影响：

1. 蝙蝠：蝙蝠作为食虫性动物，可以通过捕食害虫来控制害虫数量；它们还是重要的授粉者，对作物的生长和繁殖有重要影响。

2. 鸟类：鸟类可以控制某些害虫的数量，并对植物的种子传播产生积极作用。

2. 人为决策：除草剂的移除与有机农业

a. 除草剂的移除

随着农业生态系统的成熟，农民可能会尝试逐步移除化学品，尤其是除草剂。我们将分析移除除草剂后，生态系统的稳定性如何变化：

生产者：去除除草剂后，植物的多样性可能会增加，除草剂对草地植物和其他植物的杀伤作用会消失，可能促进其他植物物种的回归。

消费者：昆虫种群可能会恢复，捕食性昆虫（如瓢虫）可能会增加，减轻害虫对作物的威胁。

b. 蝙蝠的引入

蝙蝠是控制害虫的重要物种，也能通过授粉支持植物繁殖。我们将模拟蝙蝠对生态系统的贡献：

害虫控制：蝙蝠捕食害虫（如蚜虫、夜间飞行的害虫）有助于减少害虫对作物的威胁。

授粉作用：蝙蝠作为授粉者有助于提高植物的繁殖效率，促进农业生产的可持续性。

我们还可以选择另一种对生态系统有益的物种，例如蜜蜂，它们也在授粉过程中起着关键作用。

c. 有机农业的可能性

有机农业减少或完全避免使用化学品，因此我们需要分析有机农业对生态系统的影响：

害虫控制：有机农业采用天然或生物的方法控制害虫，如生物防治、天然杀虫剂等。

作物健康：有机农业通过不使用化学品，增强土壤健康，支持作物的长期可持续生长。

植物繁殖：有机农业支持多样性和土壤的自然恢复，能够提高作物的多样性和产量。

生物多样性：有机农业有助于恢复或保护生态系统中的其他物种，提升整体生态稳定性。

可持续性与成本效益：有机农业能够减少化学品的依赖，提高生态系统的长期稳定性，但可能面临成本较高的问题，特别是在转换期间。

3. 模型模拟与分析

我们可以使用系统动力学模型或生态网络模型来模拟这些自然过程和人为决策的影响。这些模型能够帮助我们：

- 跟踪不同物种的种群变化。

- 分析化学品使用、蝙蝠引入以及有机农业对生态系统稳定性和生物多样性的影响。

- 模拟不同农业选择（如有机与传统农业）对长期可持续性的影响。

4. 一封写给农民的信：有机农业建议

亲爱的农民，

在您考虑是否采用有机农业的过程中，我们想为您提供一些有益的见解。作为农业的可持续发展者，您的选择将对您的土地、作物和环境产生长期影响。

有机农业的好处：

1. 生态恢复：有机农业能够减少化学品的使用，增强土壤健康，并恢复生态系统中的自然物种，包括有益昆虫、鸟类和蝙蝠。

2. 可持续性：尽管有机农业可能需要更多的劳动力和管理，但它能长期提高土壤质量和作物健康，减少依赖外部化学品。

3. 生物多样性：通过引入自然的害虫控制方法，您不仅可以提高作物健康，还能保护生态系统中的各种物种。

经济与可持续性的平衡：

1. 成本与收益：有机农业通常会增加初期投入，尤其是在转型期。但是，随着土壤健康的改善和长期产量的提高，您将能够减少对化学品的依赖，从而降低长期的生产成本。

2. 市场需求：有机产品的市场需求不断增加，虽然价格可能稍高，但您的产品将有机会进入到高价值的市场。

政策建议：

我们建议您考虑与当地政府和农业组织合作，推动有机农业补贴政策，以帮助农民转型，并提供培训和技术支持。这将有助于您降低转型过程中可能遇到的经济压力。

祝您农业事业成功！

诚挚的，

[您的名字]

[日期]

F Cyber Strong?

随着世界越来越多地通过数字化连接，网络犯罪已成为对个人和国家的重大威胁。网络犯罪的频率和复杂性不断增长，给政府和组织带来了巨大的挑战。由于网络犯罪跨越国界，导致执法、调查和起诉工作变得更加复杂，此外，很多机构（如投资公司）为了避免损害声誉，往往宁愿支付赎金而不报告被黑客攻击。为了应对日益严重的网络犯罪风险，许多国家制定了国家级的网络安全政策。这些政策通常会发布在政府网站上。

本分析的目标是通过识别有效的网络安全政策模式，帮助制定基于数据的、针对性强的国家网络安全政策，从而提高各国对网络犯罪的应对能力。