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【漫话机器学习系列】063.梯度下降（Gradient Descent）

article 2025/3/1 23:26:59

梯度下降（Gradient Descent）

1. 什么是梯度下降？

梯度下降（Gradient Descent）是一种优化算法，用于通过迭代更新模型参数，最小化目标函数（通常是损失函数）。它是机器学习和深度学习中最常用的优化方法之一。

2. 梯度下降的目标

目标是找到模型参数（如权重 w 和偏置 b），使得损失函数 J(w, b) 达到最小值。这意味着找到目标函数的最优解（通常是最小值）。

数学定义：

假设我们有一个目标函数 J(w)，梯度下降的更新公式为：

$w_{t+1} = w_t - \alpha \cdot \nabla J(w_t)$

$w_t$ ：当前参数值。
α：学习率（Learning Rate），控制步长大小。
$\nabla J(w_t)$ ：损失函数 J(w) 对 w 的梯度。

3. 梯度的意义

梯度是目标函数的一阶导数，表示函数在某一点处变化的方向和速率。

梯度的方向：函数增长最快的方向。
负梯度方向：函数下降最快的方向。

4. 梯度下降的类型

根据计算梯度的方式不同，梯度下降有以下几种类型：

批量梯度下降（Batch Gradient Descent, BGD）：
- 每次迭代计算所有训练数据的梯度。
- 优点：收敛稳定，方向准确。
- 缺点：计算成本高，特别是在大数据集上。
随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）：
- 每次迭代仅使用一个样本计算梯度。
- 优点：速度快，适合大规模数据。
- 缺点：收敛不稳定，可能震荡。
小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）：
- 每次迭代使用一小批数据计算梯度（通常是 32 或 64 个样本）。
- 优点：计算效率高，收敛相对稳定。
- 缺点：需要选择合适的批量大小。

5. 梯度下降的工作原理

初始化参数：随机初始化模型参数（如权重和偏置）。
计算损失：使用当前参数计算损失函数 J(w,b)。
计算梯度：计算损失函数对参数的偏导数。
更新参数：使用梯度下降公式更新参数。
重复迭代：直到达到停止条件（如损失函数收敛或达到最大迭代次数）。

6. 梯度下降的学习率

学习率 α\alphaα 是梯度下降的关键超参数，决定每次参数更新的步长大小。

学习率太大：可能跳过最优解，甚至导致发散。
学习率太小：收敛速度慢，训练时间长。

解决方法：

使用自适应学习率优化算法（如 Adam、RMSprop）。
手动调整学习率或使用学习率调度。

7. 常见问题

局部最小值问题：
- 非凸函数可能存在多个局部最小值，梯度下降可能陷入局部最优。
- 在深度学习中，损失函数通常是高维非凸的，但局部最小值问题不太严重，因为随机初始化和动量项可以帮助逃离局部最优。
鞍点问题：
- 在鞍点（梯度为零的点），梯度下降可能停滞不前。
梯度消失和梯度爆炸：
- 深层网络中，梯度可能逐层缩小或增大，导致模型训练失败。
- 解决方法包括使用归一化技术（如 Batch Normalization）、自适应优化算法（如 Adam）或改进激活函数（如 ReLU）。

8. 优化梯度下降的算法

动量法（Momentum）：
- 在梯度下降中加入动量项，加速收敛并减小震荡。
自适应梯度（Adagrad）：
- 为每个参数设计不同的学习率。
RMSprop：
- 对 Adagrad 进行改进，通过指数衰减移动平均值调整学习率。
Adam：
- 结合动量法和 RMSprop，既考虑梯度的平均值，又考虑梯度的方差。

9. 梯度下降的应用

梯度下降被广泛应用于以下领域：

线性回归和逻辑回归：用于参数估计。
神经网络训练：优化权重和偏置。
支持向量机（SVM）：用于最大间隔分类器的参数优化。
深度学习：广泛用于 CNN、RNN、Transformer 等模型的训练。

10. 示例代码

以下是一个梯度下降优化线性回归模型的示例代码：

import numpy as np

# 模拟数据
np.random.seed(0)
X = np.random.rand(100, 1)  # 特征
y = 3 * X.squeeze() + 2 + np.random.randn(100) * 0.1  # 目标值

# 梯度下降实现
def gradient_descent(X, y, lr=0.1, epochs=100):
    m, n = X.shape
    theta = np.zeros(n + 1)  # 初始化参数
    X = np.c_[np.ones(m), X]  # 添加偏置项
    for epoch in range(epochs):
        gradients = -2/m * X.T @ (y - X @ theta)
        theta -= lr * gradients
        loss = np.mean((y - X @ theta) ** 2)
        if epoch % 10 == 0:
            print(f"Epoch {epoch}, Loss: {loss:.4f}")
    return theta

# 训练模型
theta = gradient_descent(X, y, lr=0.1, epochs=100)
print("最终参数：", theta)

运行结果

Epoch 0, Loss: 7.1997
Epoch 10, Loss: 0.1870
Epoch 20, Loss: 0.1273
Epoch 30, Loss: 0.0995
Epoch 40, Loss: 0.0783
Epoch 50, Loss: 0.0621
Epoch 60, Loss: 0.0498
Epoch 70, Loss: 0.0403
Epoch 80, Loss: 0.0331
Epoch 90, Loss: 0.0276
最终参数： [2.22800035 2.58762454]