深度学习｜表示学习｜卷积神经网络｜输出维度公式如何理解？｜16

如是我闻： 当我们对输入图像进行卷积时，输出的宽度和高度可以通过以下公式计算：

$$\text{输出大小}=\frac{\text{输入大小}-\text{卷积核大小}+2\cdot \text{填充大小}}{\text{步长}}+1$$
池化（Pooling）的输出大小公式类似卷积，但更加简单：

$$\text{输出大小}=\frac{\text{输入大小}-\text{池化窗口大小}}{\text{步长}}+1$$

下面让我们用一个直观的例子来加深一下对输出大小的理解

想象一个操场和一块跳格子布

1. 操场是输入图片：

   • 假设操场很大，我们把它分成一格一格的方块，像下图：

     操场（输入图片）：
     [□ □ □ □ □]
     [□ □ □ □ □]
     [□ □ □ □ □]
     [□ □ □ □ □]
     [□ □ □ □ □]
     

   这里有 $5\times 5$ 的方块。我们要用“跳格子布”来覆盖操场的一部分并“滑动”，看我们可以跳多少次。

2. 跳格子布是池化窗口：

   • 比如，我们的跳格子布是 $3\times 3$ 的大小，它长这样：

     跳格子布（池化窗口）：
     [■ ■ ■]
     [■ ■ ■]
     [■ ■ ■]
     

   跳格子布每次能覆盖 $3\times 3$ 的区域。

3. 滑动是步长：

   • 每次把跳格子布从操场上向右移动。比如：
     • 如果步长是 1，就往右挪 1 格；
     • 如果步长是 2，就往右挪 2 格。

4. 规则：只要跳格子布还在操场范围内，就可以跳一次。

公式背后的意义

我们想知道这个跳格子布能跳多少次（输出的大小）？
公式告诉我们：
$$\text{跳的次数}=\frac{\text{操场的大小}-\text{跳格子布的大小}}{\text{每次滑动的距离}}+1$$

一个直观的例子

假设：

• 操场大小是 $5\times 5$；
• 跳格子布大小是 $3\times 3$；
• 步长是 1（每次跳格子布只往右挪 1 格）。

按公式计算：

• 操场的大小是 5，跳格子布的大小是 3，步长是 1。

• 横着跳的次数：
  $$\frac{5-3}{1}+1=3$$
  所以跳格子布在每一行可以跳 3 次。

• 纵着跳的次数也一样：
  $$\frac{5-3}{1}+1=3$$
  所以总的输出大小是 ( 3 \times 3 )。

画出来：

跳格子布的位置会是：

• 第一次跳：

  [■ ■ ■ □ □]
  [■ ■ ■ □ □]
  [■ ■ ■ □ □]
  

• 第二次跳：

  [□ ■ ■ ■ □]
  [□ ■ ■ ■ □]
  [□ ■ ■ ■ □]
  

• 第三次跳：

  [□ □ ■ ■ ■]
  [□ □ ■ ■ ■]
  [□ □ ■ ■ ■]
  

换一个更大的步长

如果步长变成 2 呢？

• 横着跳的次数：
  $$\frac{5-3}{2}+1=2$$
  所以跳格子布在每一行可以跳 2 次。

• 纵着跳的次数：
  $$\frac{5-3}{2}+1=2$$
  所以总的输出大小是 $2\times 2$。

画出来：

跳格子布的位置会是：

• 第一次跳：

  [■ ■ ■ □ □]
  [■ ■ ■ □ □]
  [■ ■ ■ □ □]
  

• 第二次跳：

  [□ □ □ ■ ■]
  [□ □ □ ■ ■]
  [□ □ □ ■ ■]
  

公式的本质

1. 操场有多大（输入图片的大小）。
2. 跳格子布有多大（池化窗口的大小）。
3. 每次挪动多远（步长）。

公式计算的，就是跳格子布在操场上可以跳多少次（输出大小）。
更大、更密的跳格子布会减少能跳的次数，步长越大，跳的次数也会减少。

为什么有“+1”？

问题：

当滑动窗口从左上角开始往右或往下移动时，滑动的次数按距离计算。如果没有 “+1”，只会计算窗口滑动了几次完整步长，但不会考虑窗口的起始位置。

公式分成两部分：
1.$(\text{输入大小}-\text{窗口大小})/\text{步长}$：计算滑动窗口最多滑动多少步。
2. “+1”：表示滑动窗口的初始位置也算一次覆盖（因为滑动窗口最开始就覆盖了输入的一部分）。

举个具体例子

假设：

• 输入大小是 $5$ 长度为 5 的操场）。
• 窗口大小是 $3$（跳格子布的长度为 3）。
• 步长是 $1$（每次跳格子布挪动 1 格）。

如果没有 “+1”：
$$\frac{\text{输入大小}-\text{窗口大小}}{\text{步长}}=\frac{5-3}{1}=2$$
这表示跳格子布只能跳 2 次。

但实际上，我们可以从 起点 开始跳，跳格子布覆盖输入的最左侧，这是第 1 次覆盖。
然后向右挪动覆盖第 2 格，接着挪动覆盖第 3 格。
总共 3 次。

因此需要 “+1” 来补上初始位置，公式变为：
$$\frac{\text{输入大小}-\text{窗口大小}}{\text{步长}}+1=3$$

再换一个例子（步长 > 1 的情况）

假设：

• 输入大小是 $6$；
• 窗口大小是 ( 3 )；
• 步长是 ( 2 )。

如果没有 “+1”：
$$\frac{6-3}{2}=1.5$$
这里结果是小数，表示跳了 1.5 次，显然不合理。

考虑加上起始位置：
$$\frac{6-3}{2}+1=2$$
表示窗口在起点覆盖一次，然后滑动覆盖第 2 次，符合逻辑。

总的来说：

公式的本质就是在问：一个小窗口（池化窗口）在一个大图（输入）里，可以覆盖多少个位置？

“+1” 的意义：

• 当我们计算滑动窗口的次数时，公式 ((\text{输入大小} - \text{窗口大小}) / \text{步长}) 只算了窗口能滑动的次数，而没有把窗口的初始位置计算进去。
• “+1” 就是为了补上窗口覆盖输入时的第一个位置。

以上