【Leetcode 热题 100】416. 分割等和子集

问题背景

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 $nums$。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

数据约束

• $1\le nums.length\le 200$
• $1\le nums[i]\le 100$

解题过程

要求分成两个子集且和相等，其实就是找到一个总和为 $sum/2$ 的子集，其中 $sum$ 表示整个集合的和。需要注意的是，$sum$ 必须是偶数。
此外，和为零是一种可能的状态，所以记忆化数组中的元素要初始化为$-1$。
递归入口 是 $dfs(n-1,sum/2)$，表示在 $[0,n-1]$ 的范围上找到一个和为 $sum/2$ 的子集。
递归边界 是 $dfs(-1,0)=true$，表示枚举完了整个集合中的所有元素，最终能够使得剩余目标和减少到零。

翻译成递推时要注意，数组下标不能为 $-1$，所以要进行转移，将结果映射到 $[1,n]$ 这个范围上。

具体实现

递归

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        if ((sum & 1) == 1) {
            return false;
        }
        int n = nums.length;
        int[][] memo = new int[n][(sum >> 1) + 1];
        for (int[] row : memo) {
            Arrays.fill(row, -1);
        }
        return dfs(n - 1, sum >> 1, nums, memo);
    }

    private boolean dfs(int i, int j, int[] nums, int[][] memo) {
        if (i < 0) {
            return j == 0;
        }
        if (memo[i][j] != -1) {
            return memo[i][j] == 1;
        }
        boolean res = j >= nums[i] && dfs(i - 1, j - nums[i], nums, memo) || dfs(i - 1, j, nums, memo);
        memo[i][j] = res ? 1 : 0;
        return res;
    }
}

递推

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        if ((sum & 1) == 1) {
            return false;
        }
        sum /= 2;
        int n = nums.length;
        boolean[][] dp = new boolean[n + 1][sum + 1];
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int cur = nums[i];
            for (int j = 0; j <= sum; j++) {
                dp[i + 1][j] = j >= cur && dp[i][j - cur] || dp[i][j];
            }
        }
        return dp[n][sum];
    }
}

空间优化

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        if ((sum & 1) == 1) {
            return false;
        }
        sum /= 2;
        int n = nums.length;
        boolean[] dp = new boolean[sum + 1];
        dp[0] = true;
        // minSum 表示前 i 个数和的上界，不可能超过所有这些数的总和
        int minSum = 0;
        for (int num : nums) {
            // 用这个值来初始化内层循环可以避免许多不必要的判断，想不清楚的话直接用 sum 也可以
            minSum = Math.min(minSum + num, sum);
            for (int j = minSum; j >= num; j--) {
                dp[j] = dp[j] || dp[j - num];
            }
            if (dp[sum]) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}