正态分布与柯西分布的线性组合与副本随机变量同分布
正态分布与柯西分布的线性组合与副本随机变量同分布
对于标准差为
σ
\sigma
σ，期望为0的正态分布，其概率密度函数为
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
exp
−
x
2
2
σ
2
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}
f(x)=2πσ1exp−2σ2x2
对于尺度为
σ
>
0
\sigma>0
σ>0的柯西分布的密度为
f
(
x
;
σ
)
=
σ
π
(
x
2
+
σ
2
)
(
x
∈
R
)
f(x;\sigma) = \frac{\sigma}{\pi(x^2+\sigma^2)}(x\in R)
f(x;σ)=π(x2+σ2)σ(x∈R)
对于这两种分布，当
σ
=
1
\sigma =1
σ=1 时称为标准。
如果
X
1
,
X
2
,
X
3
,
…
,
X
n
X_1 ,X_2 ,X_3 ,\dots ,X_n
X1,X2,X3,…,Xn 是中心正态分布随机变量
X
X
X的
i
i
d
iid
iid(独立同分布随机变量) 副本。当有
∑
j
=
1
n
w
j
2
=
1
\sum_{j = 1}^{n} w_j^2 = 1
∑j=1nwj2=1，则有
∑
w
j
X
j
\sum w_jX_j
∑wjXj与X同分布
即
∑
j
=
1
n
w
j
X
j
=
d
X
\sum_{j = 1}^n w_jX_j =^d X
j=1∑nwjXj=dX
此结论可由和事件期望与方差推导得到。由于
X
1
,
X
2
,
X
3
,
…
,
X
n
X_1 ,X_2 ,X_3 ,\dots ,X_n
X1,X2,X3,…,Xn 是相互独立的随机变量，则其期望
E
=
∑
j
=
1
n
w
j
E
(
X
j
)
=
0
E = \sum_{j = 1}^n w_jE(X_j) = 0
E=j=1∑nwjE(Xj)=0
方差为
D
=
∑
j
=
1
n
w
j
2
D
(
X
j
)
+
∑
i
≠
j
c
o
v
{
w
i
X
i
;
w
j
X
j
}
=
∑
j
=
1
n
w
j
2
=
1
=
D
(
X
)
D = \sum_{j = 1}^n w_j^2 D(X_j) +\sum _{i \neq j}cov\{ w_iX_i ;w_jX_j\} = \sum_{j = 1}^nw_j^2 = 1 = D(X)
D=j=1∑nwj2D(Xj)+i=j∑cov{wiXi;wjXj}=j=1∑nwj2=1=D(X)
由此可得，线性组合与每一个副本同分布。
如果 X 1 , X 2 , X 3 , … , X n X_1 ,X_2 ,X_3 ,\dots ,X_n X1,X2,X3,…,Xn 是柯西分布随机变量 X X X的 i i d iid iid(独立同分布随机变量) 副本。当有 ∑ j = 1 n ∣ w j ∣ = 1 \sum_{j = 1}^{n} \vert w_j\vert = 1 ∑j=1n∣wj∣=1，则有 ∑ w j X j \sum w_jX_j ∑wjXj与X同分布
对于
μ
=
0
,
λ
=
1
\mu = 0,\lambda = 1
μ=0,λ=1的柯西分布，其特征函数为
ϕ
(
t
)
=
e
x
p
−
∣
t
∣
\phi(t) = exp^{-\vert t \vert}
ϕ(t)=exp−∣t∣
对于线性组合随机变量，由和函数的特征函数公式可得，其特征函数为
ϕ
′
(
t
)
=
exp
−
∣
∑
j
=
1
n
w
j
t
∣
\phi'(t ) = \exp^{-\vert\sum_{j =1}^n w_jt \vert}
ϕ′(t)=exp−∣∑j=1nwjt∣
故当
∑
j
=
1
n
∣
w
j
∣
=
1
\sum_{j = 1}^{n} \vert w_j\vert = 1
∑j=1n∣wj∣=1时，有
ϕ
(
t
)
=
ϕ
′
(
t
)
\phi(t) = \phi'(t)
ϕ(t)=ϕ′(t)。由此可得线性组合与每一个副本同分布。
即
∑
j
=
1
n
w
j
X
j
=
d
X
\sum_{j = 1}^n w_jX_j =^d X
j=1∑nwjXj=dX
——————————confused
以上同分布结论都是由在
X
1
,
X
2
,
X
3
,
…
,
X
n
X_1 ,X_2 ,X_3 ,\dots ,X_n
X1,X2,X3,…,Xn独立的情况下得出的。当
X
1
,
X
2
,
X
3
,
…
,
X
n
X_1 ,X_2 ,X_3 ,\dots ,X_n
X1,X2,X3,…,Xn并不独立时，即当
X
1
,
X
2
,
X
3
,
…
,
X
n
X_1 ,X_2 ,X_3 ,\dots ,X_n
X1,X2,X3,…,Xn是联合柯西分布，根据核磁共振基础，可以得到。。。
————————
重尾分布概念及分布函数
重尾分布的概念
自然现象：自然界中存在比正态分布还要广泛的一种随机变量的分布，现实中主要表现为在少量个体中作出大量贡献（占用大量资源）。
例如空气中，氮气：氧气：其它 = 78:21:1 ；人体内，水：其它物质 = 80:20
图像特征：大头短小尾长
![[QQ_1737507373064.png]]
重尾分布的分布函数
若随机变量X及其分布函数F(X)服从重尾分布，若尾指数
α
>
0
\alpha >0
α>0，且
0
<
c
<
∞
0<c< \infty
0<c<∞，其互补分布函数
P
[
X
>
x
]
=
1
−
F
(
x
)
=
c
x
−
α
P[X>x] = 1 - F(x) = cx^{-\alpha}
P[X>x]=1−F(x)=cx−α
最简单的重尾分布 Pareto分布 (常数 c = k α c = k^{\alpha} c=kα)，则其互补分布函数为 P [ X > x ] = 1 − F ( x ) = ( k / x ) α P[X>x] = 1 - F(x) = (k/x)^{\alpha} P[X>x]=1−F(x)=(k/x)α
Pillai和Meng的结果
一个简单的计算表明，如果
X
,
Y
X,Y
X,Y 是iid中心正态，
W
W
W 是标准柯西，则
X
/
Y
X/Y
X/Y 与
W
W
W 同分布
X
/
Y
=
d
W
X/Y =^d W
X/Y=dW
![[QQ_1737632005955.png]]
当(
X
1
,
X
2
,
X
3
,
…
,
X
n
X_1 ,X_2 ,X_3 ,\dots ,X_n
X1,X2,X3,…,Xn)与(
Y
1
,
Y
2
,
Y
3
,
…
,
Y
n
Y_1 ,Y_2 ,Y_3 ,\dots ,Y_n
Y1,Y2,Y3,…,Yn)都是idd中心正态分布。
则
X
j
/
Y
j
=
d
W
X_j/Y_j=^d W
Xj/Yj=dW
每一个idd副本的比值都与标准柯西同分布。
则对于任何权重 0 ≤ w j < 1 0\leq w_j<1 0≤wj<1， j = 1 , … , n j = 1,\dots,n j=1,…,n， ∑ j = 1 n w j = 1 \sum_{j =1}^n w_j = 1 ∑j=1nwj=1
∑
j
=
1
n
w
j
X
j
Y
j
=
d
W
\sum_{j = 1}^n w_j \frac{X_j}{Y_j} =^d W
j=1∑nwjYjXj=dW
由柯西分布线性组合同分布的条件可得（核磁共振），此结论不受随机向量的各个分量之间相关性的影响。
即当有一个以独立同分布为某种基础或特征的正态随机向量时，这个向量各个分量之间的比值具有一种不变性。这种不变性不受向量中各个正常分量（即符合正态分布的分量）之间相关性的影响。也就是说，无论这些分量之间是高度相关还是相互独立等各种不同的相关情况，分量之比的这种性质始终保持。
Pillai 和 Meng 推测，在确定这些正态随机变量线性组合的随机行为时，这种依赖关系的影响相对较小，会被比率的边缘尾部的沉重程度所主导，从而更趋向于柯西分布。
在这里，我们将通过两个例子来说明，联合正态随机变量之间的相关性并不总是被边缘尾部的沉重程度所压倒。在随后的两节中，我们将分析另外两个自然的转换，按照Pillai和Meng的结果，从正常世界到柯西世界。
例1：绝对值
如果 X,Y 是iid中心正态分布且 W 是标准柯西，则