数论问题80

命题1，证明，方程(2x)^(2x)-1=y^(z+1)没有正整数解。

分析:设x，y，z∈+Z满足方程，当x=1时，3=y^(z+1)，无论任意y，z取任意正整数值，3=y^(z+1)都不成立。方程左端分解因式，[(2x)^x+1][(2x)^x-1]=y^(z+1)，令k=(2x)^x+1，m=(2x)^x-1，因为k，m都是奇数，且K-m=2，所以，K，m最大公约数为1，记(K，m)=1，即k与m互素。

因为m|y^(z+1)，k|y^(z+1)，设K=p^(z+1)，m=q^(z+1)，p>1，q>1得

2=p^(z+1)-q^(z+1)

=(p-q)a，其中a=p^z+p^(z-1)q+…+q^z。容易判断p-q≥1，a>2，矛盾。所以原方程没有正整数解。

命题2，证明，对于任意n∈N，x1^2十x2^2十…+xn^2=y^2都有自然数解。注:xn^2表未知xn的平方，xn是第n个未知量，n是x的脚号。

分析:用数学归纳法。事实上，更一般的命题也成立。

对于任意n∈N，x1^2+x2^2+…xn^2=yn^2都有自然数解，并约定yn为奇数。

当n=1时，x1=y1=3满足题意。

假设对于任意n∈N，x1^2十x2^2十…+xn^2=yn^2都有自然数解，令

X(n+1)^2=(yn^2-1)÷2，

y(n+1)^2=(yn^2+1)÷2，奇数yn^2>1，这样，

x1^2十x2^2十…+xn^2+x(n+1)^2=x(n+1)^2+yn^2

=[(yn^2-1)÷2]+yn^2

=y(n+1)^2。

因为y(n+1)=(yn^2+1)÷2为奇数。即

结论对n+1也成立。

命题3，求方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3有多少个非负整数解？

分析与证明:

因为非负整数≥0，x1到x10这10个未知量都是非负数。所以，2x1≤3，x1=1或0。

(1)当x=1时，x2+x3+…+x10=1，在这九个未知量中，恰有一个未知量等于1，其他均为0。这种取值共计9种。

(2)当x1=0时，x2+x3+…+x10=3，在这九个未知量中，若有三个未知量均取1，其他均为0，这种情况的取法有(9*8*7)/(3*2*1)=84种；若有二个未知量一个取1，一个取2，其他均为0，这种情况的取法有(9*8)/(2*1)=36种；若有一个未知量取3，其他均取0，这种情况的取法为9。这种取值共计(9*8*7)/(3*2*1)+(9*8)/(2*1)+9=129种。

于是原方程共有138个非负整数解。(李扩继)