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吴恩达深度学习——优化神经网络

article 2025/2/2 12:45:21

本文来自https://www.bilibili.com/video/BV1FT4y1E74V，仅为本人学习所用。

文章目录

优化样本大小
- mini-batch
优化梯度下降法
- 动量梯度下降法
- - 指数加权平均
  - - 概念
    - 偏差纠正
  - 动量梯度下降法
- RMSprop
- Adam优化算法
优化学习率
局部最优问题（了解）

优化样本大小

mini-batch

假设训练集有百万的数据，为了加快训练的速度，将百万数据的样本分割成小批（Mini - batch）的样本来计算梯度，减少了计算梯度的时间和内存开销。
在这里插入图片描述
使用符号 $x^{(i)}$ 表示第 $i$ 个样本，使用符号使用符号 $z^{[l]}$ 表示第 $l$ 层神经网络，使用符号 $X^{\{t\}}$ 表示第 $t$ 个不同的mini-batch。

损失函数变化如下，左图是批量梯度下降计算损失函数，右图使用mini-batch计算损失函数。mini-batch梯度下降每次使用一个小批量数据计算梯度，不同小批量中的样本存在差异，每次计算的梯度方向和大小会有波动。比如某个小批量数据可能恰好包含一些特征明显的样本，使得计算出的梯度导致损失下降较多；而另一个小批量可能包含一些异常样本，使梯度计算出现偏差，导致损失短暂上升。但整体上应该是下降的。

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设整个样本大小为 $m$ 。如果mini-batch的大小设置为 $m$ ，相当于没有划分，是经典的批量梯度下降法（图中蓝色部分）；如果mini-batch的大小设置为 $1$ ，相当于每一个样本是一个mini-batch，随机梯度下降过程中会受到噪音的影响，在最小值周围波动（图中紫色部分）；如果mini-batch的大小合适，mini-batch梯度下降法就可以得到大量的向量化的同时，不需要等待整个样本被处理完就可以后续的工作，相比于随机梯度下降效果更好（图中绿色部分）。但是仍有可能导致在最小值周围徘徊，这时候需要减少学习率。

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优化梯度下降法

动量梯度下降法

指数加权平均

概念

指数加权平均（指数移动平均）是在机器学习等领域广泛应用的统计方法，用于平滑数据、估计趋势和减少噪声的影响。通过对历史数据赋予不同的权重来计算平均值，越近的数据被赋予的权重越大，越远的数据被赋予的权重呈指数级衰减。能够快速反映数据的最新变化，同时又能保留历史数据的信息，使得计算得到的平均值能够较好地跟踪数据的趋势。

举例：一些温度情况如下，需要计算其温度的局部平均值。设计算公式为 $\begin{cases} v_t=\beta v_{t-1}+(1-\beta)\theta_t \\ v_0=0 \end{cases}$ 这里取 $\beta=0.9$ 。使用 $\frac{1}{1 - \beta}$ 近似计算 $\beta$ 与天数的关系。当 $\beta = 0.9$ 时，大约是过去10天（包含当日）的温度的平均值（红线）；当 $\beta = 0.98$ 时，是过去 $\frac{1}{1 - 0.98}=50$ 天的温度的平均值（绿线）。
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偏差纠正

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实际上，该计算方法在前期的时候明显偏低（紫线），因此需要修正 $v_t=\beta v_{t - 1}+(1 - \beta)\theta_t$ 更新 $v_t$ $v_t:=\frac{v_t}{1 - \beta^t}$

动量梯度下降法

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之前的梯度下降法如批量梯度下降和mini-batch梯度下降存在的问题是每次梯度下降过程中需要计算很多次步骤（蓝线），若学习率太大，梯度下降就会超过函数的作用域（紫线）。使用指数加权平均可以减少计算步骤，更快地达到最小值（红线）。

梯度下降计算更新为在这里插入图片描述

RMSprop

和动量梯度下降法类似，RMSprop（绿线）也是减少梯度下降计算过程中的步骤。

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在第 $t$ 次迭代中，针对当前小批量（mini - batch）数据计算权重的梯度 $d w$ 和偏置的梯度 $d b$ 。
$S_{dw}=\beta_2 S_{dw}+(1 - \beta_2)dw^2$ $S_{db}=\beta_2 S_{db}+(1 - \beta_2)db^2$ $\beta_2$ 是平滑系数，控制着历史梯度平方信息的衰减。
$w-\alpha\frac{dw}{\sqrt{S_{dw}}+\epsilon}$ $b-\alpha\frac{db}{\sqrt{S_{db}}+\epsilon}$ 其中 $\alpha$ 是学习率， $\epsilon$ 是一个很小的正数，防止分母为0 。

Adam优化算法

结合了动量和RMSProp算法，计算过程如下

初始化： $V_{dw}$ =0、 $S_{dw}$ =0， $V_{db}$ =0、 $S_{db}$ =0
计算梯度：在第 $t$ 次迭代中，对mini - batch数据计算权重的梯度 $d w$ 和偏置的梯度 $d b$ 。有 $V_{dw}=\beta_1V_{dw}+(1 - \beta_1)dw\ V_{db}=\beta_1V_{db}+(1 - \beta_1)db$ $S_{dw}=\beta_2S_{dw}+(1 - \beta_2)dw^2\ S_{db}=\beta_2S_{db}+(1 - \beta_2)db^2$
偏差校正：
$V_{dw}^{corrected}=\frac{V_{dw}}{1 - \beta_1^t}\ V_{db}^{corrected}=\frac{V_{db}}{1 - \beta_1^t}$ $S_{dw}^{corrected}=\frac{S_{dw}}{1 - \beta_2^t}\ S_{db}^{corrected}=\frac{S_{db}}{1 - \beta_2^t}$
更新参数：
$w-\alpha\frac{V_{dw}^{corrected}}{\sqrt{S_{dw}^{corrected}}+\epsilon}\ b = b-\alpha\frac{V_{db}^{corrected}}{\sqrt{S_{db}^{corrected}}+\epsilon}$
$\beta_1$ 的值默认为0.9， $\beta_2$ 的值默认为0.999，学习率 $\alpha$ 需要尝试哪一个合适， $\epsilon$ 默认为 $10^{-8}$ 。这些参数一般使用默认值即可。

优化学习率

学习率衰减是随着训练的进行，按照一定的规则逐渐减小学习率的值。在训练初期，参数离最优解较远，较大的学习率能让参数快速移动，加快收敛速度，迅速接近最优解所在区域。随着训练推进，参数逐渐接近最优解，此时较大的学习率可能导致参数在最优解附近来回震荡，无法精确收敛，甚至可能越过最优解，需要减小学习率，使参数更新更加精确。

比如 $\alpha=\frac{1}{1+decay\_rate\times epoch\_num}\alpha_0$ 其中，decay_rate是衰减率，一个超参数，epoch_num是训练轮数， $\alpha_0$ 是初始学习率。该公式是一个逆时间衰减。还有其他的方式如步长衰减、指数衰减、自适应衰减。