计算满足特定条件的素数在全体素数中的密度极限值，并将该极限值乘以10^7后向下取整的解题思路

定义
对于正整数$n$，令$v_p(n)$表示使得$p^v\mid n$的最大整数$v$。
对于素数$p$和$a\not\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，令 ${\text{ord}}_p(a)$ 表示使得 $a^o\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 的最小正整数 o。

对于 $x>0$，令
$\begin{array}{r}{\mathrm{ord}}_{p,x}(a)=\prod _{\begin{array}{c}q\le x\\ q\text{ prime }\end{array}}{q}^{v_q({\mathrm{ord}}_p(a))}\prod _{\begin{array}{c}q>x\\ q\text{ prime }\end{array}}{q}^{v_q(p-1)}\end{array}$

问题

令 $S_x$ 表示满足 ${\text{ord}}_{p,x}(2)>{\text{ord}}_{p,x}(3)$ 的素数 p 的集合。
令 $d_x$ 表示 $S_x$ 在素数中的密度，即
d x = ∣ S x ∣ ∣ { p ≤ x : p  is prime } ∣ d_x = \frac{|S_x|}{|\{p\leq x:p\text{ is prime}\}|} dx​=∣{p≤x:p is prime}∣∣Sx​∣​

令
$d_{\infty }={\lim }_{x\to \infty }{d}_x$

计算 $\lfloor 10^7{d}_{\infty }\rfloor$。
解答思路：
这个问题的解决需要深厚的数论背景和复杂的数学分析。
要解决这个问题，我们需要深入理解数论中的几个关键概念，特别是关于原根和阶的性质。以下是解决这个问题的步骤：

步骤 1: 理解阶的性质

对于素数 $p$ 和整数 $a$（$a$ 不被 $p$ 整除），${\text{ord}}_p(a)$是最小的正整数$k$使得$a^k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

步骤 2: 分析${\text{ord}}_p(2)$和${\text{ord}}_p(3)$

• ${\text{ord}}_p(2)$是$p-1$的因子，具体取决于$p$模$4$的余数：
  • 如果$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$，则${\text{ord}}_p(2)=\frac{p-1}{2}$。
  • 如果$p\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$，则${\text{ord}}_p(2)=p-1$。
• ${\text{ord}}_p(3)$是$p-1$的因子，具体取决于$p$模$3$的余数：
  • 如果$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$，则${\text{ord}}_p(3)$可能是$\frac{p-1}{2}$或 $p-1$。
  • 如果$p\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$，则${\text{ord}}_p(3)=p-1$。

步骤 3: 确定${\text{ord}}_p(2)>{\text{ord}}_p(3)$的条件

我们需要找出所有$p$使得${\text{ord}}_p(2)>{\text{ord}}_p(3)$。这通常发生在$p\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$且$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$的情况下，因为这时${\text{ord}}_p(2)=p-1$而${\text{ord}}_p(3)=\frac{p-1}{2}$。

步骤 4: 计算密度$d_{\infty }$要计算$d_{\infty }$，我们需要分析在所有素数中，满足上述条件的素数的比例。这可以通过以下步骤进行：

• 使用素数定理来估计素数的分布。
• 分析在给定同余类$p\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$和 $p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$下素数的密度。
• 使用狄利克雷卷积和莫比乌斯反演来计算这些同余类交集的密度。

步骤 5: 计算极限

最终，我们需要计算以下极限：
d ∞ = lim ⁡ x → ∞ ∣ S x ∣ ∣ { p ≤ x : p  is prime } ∣ d_{\infty} = \lim_{x \to \infty} \frac{|S_x|}{|\{p \leq x : p \text{ is prime}\}|} d∞​=limx→∞​∣{p≤x:p is prime}∣∣Sx​∣​
这通常涉及到复杂的数论分析，可能需要使用现代数论工具和技术，如解析数论中的方法。

答案：3677073