构建由局部观测、分布式决策与全局奖励协同作用的多智能体强化学习系统

1. 问题背景与建模：从自治调度到POMDP

1.1 自治调度问题与多智能体环境

在实际应用中（例如生产调度、资源分配等），多个自治决策单元（智能体）需要在一个共享的环境中协同工作，每个智能体只能获取局部信息（例如自身状态或部分环境观测），但它们的行为会相互影响。传统的单智能体强化学习（RL）模型难以直接适用于这种场景，因此需要多智能体强化学习（MARL）的方法。

1.2 将问题转化为部分可观测马尔可夫决策过程（POMDP）

由于每个智能体无法获得全局状态信息，而只能通过局部观测 $o_i$ 获取部分环境信息，因此整体问题可建模为部分可观测马尔可夫决策过程（POMDP）。在POMDP模型中：

• 状态空间 S：环境的全局状态，但在实际训练和决策时并不可观测。
• 观测空间 $O_i$：每个智能体 i 能够获得的观测信息 $o_i\in O_i$ 。
• 动作空间 $A_i$：每个智能体的动作集合。
• 状态转移函数 $T(s^{\prime }|s,\mathbf{a})$：给定当前全局状态 s 以及所有智能体的联合动作 $\mathbf{a}=(a_1,\dots ,a_N)$，环境转移到下一个状态 s’ 的概率。
• 奖励函数 R：全局奖励信号，反映了整个系统（所有智能体协同）的表现。

这样，尽管每个智能体只能基于其局部观测做决策，但整个系统仍遵循马尔可夫性质（在状态转移和奖励上），只不过智能体的可观测性受限。

2. 智能体的策略设计与局部观测

2.1 局部观测 $o_i$ 与策略参数化

对于每个智能体 i 来说，其基于局部观测 $o_i$ 采用参数化策略：

${\pi }_i(o_i;{\theta }_i)$

其中：

• ${\pi }_i$ 表示智能体 i 的策略，通常为概率分布，给定观测 $o_i$ 后输出在动作空间 $A_i$ 上各动作的选择概率。
• ${\theta }_i$ 为策略参数，可以通过深度神经网络进行参数化表示（例如利用深度Q网络、策略梯度方法等）。

这种设计的主要意义在于：

• 局部信息处理：智能体只依赖于自身局部信息进行决策，适应真实系统中信息不完全的情况。
• 并行性与分布式执行：每个智能体独立决策，便于分布式系统部署。

2.2 数学建模与策略优化目标

每个智能体的目标是最大化其长期累计回报，而在协作任务中，往往设计全局奖励 RR 来驱动所有智能体朝着共同目标前进。联合策略的优化目标可写为：

$$J({\theta }_1,\dots ,{\theta }_N)={\mathbb{E}}_{\tau \sim {\pi }_1,\dots ,{\pi }_N}\left[\sum _{t=0}^T{\gamma }^{t}R(s_t,{\mathbf{a}}_t)\right]$$

其中：

• $\tau$ 表示整个交互轨迹，
• $\gamma$ 为折扣因子，
• $R(s_t,{\mathbf{a}}_t)$ 是在状态 $s_t$ 下执行联合动作 ${\mathbf{a}}_t=(a_1,\dots ,a_N)$ 后获得的全局奖励。

3. 协作目标与全局奖励设计

在多智能体任务中，通常希望智能体间能够有效协作。全局奖励信号 R 的设计在协作中起到至关重要的作用：

• 协作导向：全局奖励通常不是简单地各智能体奖励的叠加，而是根据整个系统的表现来设定，确保局部策略更新不会出现“自私”行为，而是推动系统整体最优。
• 信用分配问题：如何将全局奖励合理地分配给各个智能体，使得每个智能体能够知道自己对全局奖励的贡献。这也是多智能体强化学习中的一个关键挑战。

常见的做法包括差分奖励、局部奖励与全局奖励的混合设计等技术，甚至引入集中式Critic（批评者）来评估各个智能体的动作对全局奖励的影响。

4. 协作策略学习方法

4.1 联合策略梯度算法

联合策略梯度方法（Joint Policy Gradient）是在联合状态-动作空间上直接对所有智能体的联合策略进行优化。其基本思想是：

$${\nabla }_{\theta }J={\mathbb{E}}_{\tau }\left[\sum _t{\nabla }_{\theta }\log \pi ({\mathbf{a}}_t|{\mathbf{o}}_t;\theta )Q({\mathbf{o}}_t,{\mathbf{a}}_t)\right]$$

其中：

• $\theta =({\theta }_1,\dots ,{\theta }_N)$ 为所有智能体策略参数的集合，
• $\pi ({\mathbf{a}}_t|{\mathbf{o}}_t;\theta )={\prod }_{i=1}^N{\pi }_i(a_{i,t}|o_{i,t};{\theta }_i)$假设各智能体决策条件独立（在执行时是去中心化的），
• $Q({\mathbf{o}}_t,{\mathbf{a}}_t)$ 是联合状态-动作价值函数，可以通过集中式Critic进行估计。

这种方法的关键在于，利用梯度上升/下降方法更新参数，确保全局奖励最大化。但是，由于高维联合动作空间和局部观测的限制，直接计算联合策略梯度可能面临维数灾难和信用分配困难的问题。

4.2 集中训练分布式执行 (CTDE) 策略

CTDE方法旨在结合集中式学习与分布式执行的优势，其核心思路包括：

• 集中训练：在训练阶段，利用所有智能体的全局信息（例如全局状态、其他智能体的观测和动作）来构造一个集中式的Critic或价值函数。这可以有效解决信用分配和联合策略估计的问题。常见算法有MADDPG（Multi-Agent Deep Deterministic Policy Gradient）、COMA（Counterfactual Multi-Agent Policy Gradients）等。

• 分布式执行：在实际执行阶段，每个智能体只使用其局部观测和局部策略进行决策，保证系统的去中心化操作和高效性。

CTDE方法通过将集中式信息利用到训练过程中，极大地缓解了因局部信息不足而导致的学习困难，同时确保了实际系统中智能体操作的分布式特性。

数学细节：

• 集中式Critic设计：设定联合价值函数 $Q(\mathbf{s},\mathbf{a})$ 或者条件价值函数 $Q_i(\mathbf{s},\mathbf{a})$ 来为每个智能体提供梯度信号。更新时，可以使用Bellman方程： $Q({\mathbf{s}}_t,{\mathbf{a}}_t)=R({\mathbf{s}}_t,{\mathbf{a}}_t)+\gamma {\mathbb{E}}_{{\mathbf{s}}_{t+1},{\mathbf{a}}_{t+1}}\left[Q({\mathbf{s}}_{t+1},{\mathbf{a}}_{t+1})\right]$
• 策略更新：利用集中式Critic，针对每个智能体 i 的策略梯度可以写成： ${\nabla }_{{\theta }_i}J\approx {\mathbb{E}}_{\mathbf{s},\mathbf{a}}\left[{\nabla }_{{\theta }_i}\log {\pi }_i(a_i|o_i;{\theta }_i)\left(Q_i(\mathbf{s},\mathbf{a})-b(o_i)\right)\right]$ 其中 $b(o_i)$ 为基线函数（baseline），用于减少方差。这样的设计能更精确地估计单个智能体对全局奖励的贡献。

5. 算法实现与具体方法

5.1 算法选择

在具体实现中，根据问题特性和系统要求，常用的MARL算法包括：

• MADDPG：基于确定性策略梯度的方法，每个智能体有去中心化的执行策略，但训练时使用集中式Critic。
• COMA：利用反事实（counterfactual）基线来解决多智能体中的信用分配问题。
• QMIX：采用混合网络结构，通过单调性约束将各智能体局部的价值函数组合成全局价值函数，适合于协作任务。

每种算法在联合策略梯度的计算、局部信息利用与全局奖励的融合上各有侧重，需要根据具体任务调研其适用性。

5.2 数学模型与实现步骤

（1）建模阶段：

• 定义全局状态 ss、局部观测 $o_i$ 以及动作 $a_i$。
• 构造环境转移概率 $T(s^{\prime }|s,\mathbf{a})$ 和奖励函数 $R(s,\mathbf{a})$。

（2）策略网络设计：

• 为每个智能体设计基于局部观测的策略网络 ${\pi }_i(o_i;{\theta }_i)$（例如，使用卷积神经网络处理图像观测或循环神经网络处理时间序列数据）。
• 如果使用值函数方法，还需设计局部或集中式的Critic网络 $Q(\cdot )$ 或 $Q_i(\cdot )$。

（3）训练过程（CTDE）：

• 集中训练：在每个训练步骤中，收集所有智能体的观测、动作和全局状态信息，利用集中式Critic估计联合价值函数，并计算策略梯度。
• 分布式执行：更新后的策略仅依赖各自的局部观测进行动作选择，确保训练与执行环境不出现信息不匹配。

（4）策略梯度更新：

• 利用联合策略梯度公式更新每个智能体的参数，确保全局奖励最大化。具体实现时常用梯度下降/上升方法，配合经验回放（experience replay）、目标网络（target network）等技术稳定训练过程。

（5）信用分配与奖励平滑：

• 设计合适的信用分配机制，如反事实基线或差分奖励，以降低各智能体间的竞争与干扰，提高协作效率。

6. 总结与关键技术点

1. 模型转换：将自治调度问题转化为POMDP，是处理局部信息不全和多智能体协作的基本出发点。

2. 局部观测与策略参数化：每个智能体基于自身局部观测 $o_i$ 采用参数化策略 ${\pi }_i(o_i;{\theta }_i)$，这是实现分布式执行的关键。

3. 全局奖励设计：设计一个能够反映系统整体表现的全局奖励 R，并通过集中式Critic等方法解决信用分配问题，是多智能体协作的核心挑战之一。

4. 联合策略梯度与CTDE：联合策略梯度方法结合了各个智能体的策略更新，而CTDE方法则利用集中式训练信息指导分布式执行，二者结合能够有效平衡局部信息不足与全局协作目标。

5. 具体算法实现：例如MADDPG、COMA、QMIX等算法在不同场景下展示了各自的优势，实际应用时需要根据问题特性选择合适的算法，并针对性地设计网络结构、训练流程与超参数调节。

通过上述详细的分解，可以看到多智能体强化学习（MARL）在理论上构建了一个由局部观测、分布式决策与全局奖励协同作用的系统，而在实践中需要充分利用集中训练与分布式执行（CTDE）的策略来有效解决信息不对称和信用分配问题。这些技术和数学模型为解决自治调度、协作决策等复杂任务提供了坚实的理论基础和实施路径。