零碎的知识点（十二）：“期望” 是什么？

期望（数学期望）的详细解释与示例

1. 期望的定义

数学期望（Expected Value）是概率论中衡量随机变量平均取值的核心指标，表示在大量重复试验中，随机变量取值的长期平均值。其本质是加权平均，权重为每个可能结果发生的概率。

• 公式：
  对于离散型随机变量 $X$，其可能取值为 $x_1,x_2,...,x_n$，对应的概率为 $P(x_1),P(x_2),...,P(x_n)$，期望 $E(X)$ 定义为：
  $$E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot P(x_i)$$
  对于连续型随机变量，需用积分代替求和。

2. 期望的意义

• 长期视角：期望反映的是无限次重复试验后的平均结果，而非单次试验的必然值。
• 决策工具：在投资、赌博等场景中，期望用于量化风险与收益的平衡。
• 理论基石：期望是方差、协方差等其他统计量的基础。

3. 计算步骤与示例

示例1：掷骰子的期望

问题：计算一个均匀六面骰子点数的期望。
步骤：

1. 列出所有可能结果：$x_i=1,2,3,4,5,6$。
2. 确定概率：每面概率均为 $\frac{1}{6}$。
3. 计算期望：
   $$E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+\cdots +6\cdot \frac{1}{6}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$$
   结论：掷骰子的期望点数为3.5。尽管单次结果只能是整数，但长期平均会趋近3.5。

示例2：抽奖活动的期望收益

问题：某抽奖活动规则如下：

• 90%概率不中奖（收益0元）。
• 10%概率中奖，奖金100元。
  抽奖需支付15元参与费，是否值得参与？

步骤：

1. 计算净收益的期望（未扣除成本）：
   $$E(\text{奖金})=0\cdot 0.9+100\cdot 0.1=10\text{元}$$
2. 扣除成本后的期望收益：
   $$\text{净期望}=10-15=-5\text{元}$$
   结论：期望收益为负（-5元），长期参与会亏损，不值得参加。

示例3：投资决策的期望回报

问题：某股票投资有两种可能结果：

• 60%概率盈利200元。
• 40%概率亏损100元。
  求投资的期望收益，并判断是否值得投资。

步骤：

1. 计算期望收益：
   $$E(X)=200\cdot 0.6+(-100)\cdot 0.4=120-40=80\text{元}$$
2. 分析：
   尽管存在亏损风险，但期望收益为正（80元），长期多次投资平均每次获利80元，值得投资。

4. 期望的性质

• 线性性：$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$为常数）。
• 独立性：若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$。
• 非乘性：一般情况下，$E(XY)\ne E(X)E(Y)$。

5. 期望的常见误区

• 误区1：期望等于最可能的结果。
  纠正：期望是加权平均，未必对应实际可能值（如骰子期望3.5，但无法掷出3.5）。
• 误区2：高期望一定优于低期望。
  纠正：需结合方差（风险）。例如：
  • 选项A：100%收益10元（期望=10元，方差=0）。
  • 选项B：50%收益20元，50%收益0元（期望=10元，方差=100）。
    两者期望相同，但B风险更高。

6. 实际应用场景

• 保险定价：根据事故概率和赔付金额计算保费期望，确保盈利。
• 游戏设计：调整道具掉落概率，控制玩家付费的期望收益。
• 量化交易：通过历史数据计算策略的期望收益率，优化投资组合。

总结

期望是连接概率与现实的桥梁，通过加权平均量化不确定性下的平均结果。理解期望有助于在风险与收益之间做出理性决策，但需结合其他指标（如方差）全面评估风险。