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细说机器学习数学优化之梯度下降

article 2025/2/7 6:33:12

系列文章目录

第一章：Python 机器学习数学优化之梯度下降

系列文章目录

前言

一、基本原理：

二、使用步骤:

三、梯度下降类型：

四、应用场景：

总结

前言

梯度下降（Gradient Descent）是人工智能（AI）领域中的一个关键概念，尤其在机器学习和深度学习中扮演着核心角色。以下是对梯度下降的详细解释：

一、基本原理：

梯度下降是一种优化算法，通过迭代地向最陡下降的方向移动（由梯度的负值定义）来最小化一个函数。它常用于寻找函数的最小值，是许多机器学习模型的支柱。在多元函数的某一点处，函数值沿着负梯度方向下降最快，因此梯度下降算法选择负梯度方向作为搜索方向，通过迭代更新参数，逐步逼近函数的最小值。

二、使用步骤:

——优先定义损失函数，来衡量模型预测结果与真实值之间的差异，常见的损失函数有均方误差（Mean Squared Error）、交叉熵损函数（Cross—Entropy）、对数损失函数（Log Loss）

初始点：在函数定义域内任选一个初始点作为参数的起始值。
计算梯度：在当前点计算目标函数的梯度（导数），即损失函数关于参数的偏导数。
参数更新：根据梯度和一个预先设定的学习率（步长）来更新参数。参数更新的公式为：θ = θ - η∇_θL(θ)，其中θ表示参数，L(θ)表示损失函数，η表示学习率，∇_θL(θ)表示损失函数关于参数的梯度。
迭代：重复计算梯度和更新参数的步骤，直到满足停止条件（如达到预设的迭代次数或损失函数值小于某个阈值）。

最小化损失函数思想：

1.评估模型性能：通过计算预测值与实际值之间的差异，定量地衡量模型在训练集上的拟合程度。更小的损失值意味着预测值与实际值之间更接近。

2.优化模型参数：最小化损失函数为的是寻找模型拟合数据效果最佳时的模型参数，以损失值作为优化目标，使用梯度下降等优化算法迭代调整模型参数，使得损失函数逐渐减小（即预测值与实际值之间的差异减小，预测值更接近实际值），改善模型性能

3.推广到新样本：通过寻找到最小的损失值，期望模型对未见过的新数据有更精准的预测，提高模型的泛化能力

三、梯度下降类型：

批量梯度下降（Batch Gradient Descent）：使用整个数据集来计算梯度，直到找到最优解。尽管计算量大，但其收敛性较强。批量梯度下降法的具体原理是在每一次迭代中，计算所有样本的梯度，并朝着梯度的反方向更新参数。这个过程可以描述成以下公式：θ=θ−αm1i=1∑m∇Ji(θ)，其中，θ表示模型参数，α表示学习率，m表示样本数，∇Ji(θ)表示损失函数J(θ)对第i个样本的参数θ的梯度。
随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）：对每个样本单独计算梯度，使得算法反应快速，适合大规模数据集。然而，由于一次只使用一个样本，梯度估计会有噪声，算法可能会在最小值附近弹跳，不会稳定下来。随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）的参数更新公式如下：θ = θ - α * ∇L(θ, x_i, y_i)，其中，θ 表示模型参数，是需要通过优化算法进行更新的变量；α 表示学习率，是一个超参数，用于控制每次参数更新的步长。学习率的选择对SGD的性能有显著影响，过大可能导致算法在最优解附近震荡，过小则可能导致收敛速度过慢；∇L(θ, x_i, y_i) 表示损失函数L关于模型参数θ的梯度，其中x_i和y_i表示随机选择的一个训练样本。在SGD中，这个梯度是基于单个样本计算的，而不是基于整个训练数据集。
小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent）：结合了批量梯度下降和随机梯度下降的优点，使用数据集的小随机样本（称为小批量）来计算梯度。这种方法可以利用向量化操作提高速度，同时保持合理的噪声水平以逃离局部最小值，通常是首选方法。小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）的参数更新公式为：θ = θ - α * ∇θ J_mb(θ)，其中，θ 表示模型参数，这些参数是需要通过优化算法进行迭代更新的；α 是学习率，它控制每次参数更新的步长大小。学习率的选择至关重要，过大的学习率可能导致算法在最优解附近震荡甚至发散，而过小的学习率则会使收敛速度变得非常慢；∇θ J_mb(θ) 表示小批量样本的损失函数J_mb(θ)关于模型参数θ的梯度。在小批量梯度下降中，每次迭代都会使用一个小批量的样本来计算梯度，而不是像批量梯度下降那样使用整个训练集，也不像随机梯度下降那样仅使用一个样本；J_mb(θ) 是小批量样本的损失函数，它衡量了模型在当前参数下对于这批样本的预测误差。

学习率：机器学习中的一种超参数，用于控制模型迭代中更新参数的频率或者步幅；如果学习率过小，那么模型需要更多迭代才能收敛，反之，模型可能会在参数空间发生震荡甚至无法收敛，最终无法找到最优解。

学习率的调整方法：

1.固定学习率：在整个训练过程中使用固定的学习率。这种方法适用于模型结构相对简单、数据集规模较小的情况。然而，对于复杂的模型和大规模数据集，固定学习率可能导致收敛速度过慢或无法收敛到最优解。

2.学习率衰减：

指在训练过程中逐渐减小学习率。这种方法可以在训练初期使用较大的学习率以快速收敛，然后在接近最优解时减小学习率以避免过度震荡。学习率衰减的策略有多种，包括：

分段常数衰减：在预设的训练次数区间内使用不同的常数学习率。通常，开始时的学习率较大，之后逐渐减小。
指数衰减：学习率与训练次数呈指数关系，随着训练次数的增加，学习率按指数级减小。
余弦衰减：学习率按照余弦函数的形式进行衰减，这种方法在训练的初期和末期使用较大的学习率，中期使用较小的学习率。

3.自适应学习率：自适应学习率算法可以根据模型参数和数据的特点自动调整学习率。这类算法包括Adam、RMSprop等。它们通常使用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计来计算自适应的学习率，从而在不同参数和数据上实现更精细的学习率调整。

4.网格搜索和随机搜索：对于超参数（包括学习率）的调优，可以使用网格搜索或随机搜索方法。这些方法通过尝试不同的学习率组合来找到最优的学习率设置。网格搜索会系统地遍历预设的学习率范围，而随机搜索则会在学习率范围内随机选择样本进行尝试。这两种方法都需要较多的计算资源，但通常能够找到较为准确的学习率设置。

5.可视化调整：使用损失函数和验证集精度的可视化图表来观察不同学习率的效果也是一种有效的方法。通过绘制不同学习率下的损失函数曲线和验证集精度曲线，可以直观地判断哪个学习率表现最佳。这种方法需要一定的可视化工具和数据分析技能。

优化算法收敛：算法在迭代过程中逐渐接近最优解的性质，当优化算法收敛时，便找到局部或者全局的最优解。

判断优化算法是否为最优解的方法：

1.目标函数值的变化：目标函数（损失函数）随迭代次数的变化逐渐变小并趋于稳定。常见的条件是设置一个阈值，目标函数变化低于阈值，意味着已经收敛。

2.参数变化：模型参数变化接近于0。常见的条件是设置一个阈值，模型参数变化低于阈值，意味着已经收敛。

3.梯度变化：目标函数（损失函数）的梯度大小，即参数对目标函数的导数。梯度下降类算法中，梯度趋近于0时。可检查梯度的范数（向量的长度）是否低于某个设定的阈值。

4.验证集性能：有监督学习模型中，通过独立的验证集来评估模型性能，当验证集的性能不在显著变化。

收敛并不意味达到最优解，而是接近最优解。