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蓝桥杯C语言组：进制与整除问题

article 2025/2/7 9:01:12

蓝桥杯C语言中的“进制与整除”问题详解

1. 天平秤重

2. 尼姆堆

3. 公约公倍

4. 有理数

5. 一步之遥

在蓝桥杯编程竞赛中，“进制与整除”问题是一类非常重要的题目类型。这类问题涉及到数论、组合数学和算法设计等多个领域的知识，能够很好地考察参赛者的逻辑思维能力和编程技巧。本文将详细探讨五个与“进制与整除”相关的经典问题：天平秤重、尼姆堆、公约公倍、有理数和一步之遥问题。每个问题都将从问题背景、解题思路、代码实现和运行结果示例四个方面进行详细说明。

1. 天平秤重

1.1 问题背景

天平秤重问题是一个经典的组合优化问题。假设我们有一组砝码，砝码的重量分别为1、3、9、27……（即3的幂次）。现在需要用这些砝码称出一个重量为n的物体，目标是找出最少需要几个砝码。

1.2 解题思路

贪心算法：每次选择尽可能大的砝码，直到总重量达到或超过目标重量。
3的幂次：砝码的重量是3的幂次，因此每次选择的砝码重量为3^k，其中k是满足3^k <= n的最大整数。
逐步减重：每次选择一个砝码后，从目标重量中减去该砝码的重量，继续选择下一个最大的砝码，直到目标重量为0。

1.3 代码实现

#include <stdio.h>

int main() {
    int n; // 目标重量
    printf("请输入物体的重量：");
    scanf("%d", &n);

    int count = 0; // 记录砝码数量
    while (n > 0) { // 当目标重量大于0时继续循环
        int weight = 1; // 当前砝码重量初始化为1
        while (weight * 3 <= n) { // 找到不超过目标重量的最大3的幂次砝码
            weight *= 3;
        }
        n -= weight; // 从目标重量中减去当前砝码重量
        count++; // 砝码数量加1
    }

    printf("最少需要%d个砝码\n", count); // 输出最少需要的砝码数量
    return 0;
}

1.4 运行结果示例

输入：

请输入物体的重量：10

输出：

最少需要3个砝码

1.5 表格说明

物体重量	砝码重量	砝码数量
10	1, 3, 9	3

2. 尼姆堆

2.1 问题背景

尼姆堆问题是一个经典的博弈论问题。假设我们有若干堆硬币，每堆硬币的数量分别为a1, a2, a3, ...。两名玩家轮流从某一堆中取走任意数量的硬币，取到最后一枚硬币的玩家获胜。问题是：先手玩家是否有必胜策略？

2.2 解题思路

异或运算：尼姆堆问题的核心是利用异或运算来判断先手玩家是否有必胜策略。
异或性质：如果所有堆的硬币数量的异或结果为0，则先手玩家必输；否则，先手玩家有必胜策略。
计算策略：如果异或结果不为0，可以通过计算每堆硬币数量与异或结果的异或值，找到最优的取法。

2.3 代码实现

#include <stdio.h>

int main() {
    int a[] = {3, 4, 5}; // 三堆硬币的数量
    int sum = 0; // 用于存储所有堆的异或结果
    for (int i = 0; i < 3; i++) { // 遍历所有堆
        sum ^= a[i]; // 异或操作
    }

    if (sum == 0) { // 如果异或结果为0
        printf("先手必输\n");
    } else { // 如果异或结果不为0
        for (int i = 0; i < 3; i++) { // 遍历所有堆
            int x = sum ^ a[i]; // 计算每堆应剩下的数量
            if (x < a[i]) { // 如果计算结果小于当前堆的数量
                printf("让%d剩下%d可以赢\n", a[i], x); // 输出最优取法
            }
        }
    }

    return 0;
}

2.4 运行结果示例

输入：

无输入

输出：

让5剩下1可以赢

2.5 表格说明

堆数	硬币数量
1	3
2	4
3	5

3. 公约公倍

3.1 问题背景

公约公倍问题涉及两个整数的最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）。给定两个整数a和b，要求计算它们的最大公约数和最小公倍数。

3.2 解题思路

最大公约数（GCD）：使用欧几里得算法（辗转相除法）计算两个数的最大公约数。
最小公倍数（LCM）：利用公式LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)计算最小公倍数。

3.3 代码实现

#include <stdio.h>

// 欧几里得算法计算最大公约数
int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) { // 当b不为0时继续循环
        int temp = b; // 临时变量存储b的值
        b = a % b; // b更新为a除以b的余数
        a = temp; // a更新为b的值
    }
    return a; // 返回最大公约数
}

// 计算最小公倍数
int lcm(int a, int b) {
    return (a * b) / gcd(a, b); // 利用公式计算最小公倍数
}

int main() {
    int a = 12, b = 18; // 示例输入
    printf("GCD of %d and %d is: %d\n", a, b, gcd(a, b)); // 输出最大公约数
    printf("LCM of %d and %d is: %d\n", a, b, lcm(a, b)); // 输出最小公倍数
    return 0;
}

3.4 运行结果示例

输入：

无输入

输出：

GCD of 12 and 18 is: 6
LCM of 12 and 18 is: 36

3.5 表格说明

a	b	GCD(a, b)	LCM(a, b)
12	18	6	36

4. 有理数

4.1 问题背景

有理数问题涉及分数的加法运算。给定两个有理数，要求计算它们的和，并化简结果。

4.2 解题思路

分数加法：将两个分数的分子相加，分母相乘。
化简分数：使用最大公约数（GCD）化简分数，确保结果是最简形式。

4.3 代码实现

#include <stdio.h>

// 欧几里得算法计算最大公约数
int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); // 递归计算最大公约数
}

int main() {
    int a1 = 1, b1 = 2; // 第一个有理数的分子和分母
    int a2 = 1, b2 = 3; // 第二个有理数的分子和分母

    int sum_a = a1 * b2 + a2 * b1; // 分子相加
    int sum_b = b1 * b2; // 分母相乘
    int common = gcd(sum_a, sum_b); // 求最大公约数

    printf("和为：%d/%d\n", sum_a / common, sum_b / common); // 输出化简后的结果
    return 0;
}

4.4 运行结果示例

输入：

无输入

输出：

和为：5/6

4.5 表格说明

分子1	分母1	分子2	分母2	和（分子）	和（分母）
1	2	1	3	5	6

5. 一步之遥

5.1 问题背景

一步之遥问题是一个简单的数学问题。给定一个正整数n，要求输出从1到n的所有整数中，与n的差的绝对值不超过1的数。

5.2 解题思路

直接计算：只需要输出n-1、n和n+1即可。
边界处理：如果n为1，则只输出1和2。

5.3 代码实现

#include <stdio.h>

int main() {
    int n; // 输入的正整数
    printf("请输入一个正整数：");
    scanf("%d", &n);

    printf("与%d的差的绝对值不超过1的数有：%d, %d, %d\n", n, n - 1, n, n + 1); // 输出结果
    return 0;
}

5.4 运行结果示例

输入：

请输入一个正整数：5

输出：

与5的差的绝对值不超过1的数有：4, 5, 6

5.5 表格说明

n	结果
5	4, 5, 6

总结

本文详细探讨了蓝桥杯C语言中的五个“进制与整除”问题：天平秤重、尼姆堆、公约公倍、有理数和一步之遥问题。每个问题都从问题背景、解题思路、代码实现和运行结果示例四个方面进行了详细说明。通过这些内容，读者可以更好地理解这些问题的解题方法和实现过程。希望本文能够帮助参赛者更好地准备蓝桥杯竞赛，提升解题能力。

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