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机器学习数学基础：16.方程组

article 2025/2/9 0:45:34

一、方程组基础概念

（一）定义

方程组是由若干个包含未知数的方程组合而成的集合。例如， $\begin{cases}3x + 2y - z = 7\\2x - y + 3z = 5\\x + 4y - 2z = 3\end{cases}$ 就是一个含有三个未知数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的方程组。方程组不一定是“方”的，即方程的个数与未知数的个数不一定相等。例如 $\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 1\\3x + 2y = 11\end{cases}$ ，有两个未知数但三个方程。

在方程组中，存在有效方程和无效方程的概念。有效方程是指不能由方程组中的其他方程通过线性组合得到的方程，它为求解未知数提供了独立的信息。例如在方程组 $\begin{cases}x + y = 3\\2x + 2y = 6\end{cases}$ 中，第二个方程 $2 x + 2 y = 6$ 可以由第一个方程两边同时乘以 $2$ 得到，所以它是无效方程，而第一个方程是有效方程。无效方程对求解未知数没有额外的贡献，在分析方程组时可以将其去除，不会影响方程组的本质解情况。

（二）解的情况

方程组的解存在三种可能情况：

唯一解：当方程组中各个方程之间的约束关系恰好能确定每个未知数的唯一值时，方程组有唯一解。从几何角度理解，对于二元一次方程组，每个方程可以表示平面上的一条直线，当两条直线相交于一点时，这个交点的坐标就是方程组的唯一解。例如方程组 $\begin{cases}x - y = 1\\2x + y = 8\end{cases}$ ，通过消元法，将第一个方程加上第二个方程可得 $3 x = 9$ ，解得 $x = 3$ ，把 $x = 3$ 代入第一个方程 $3 - y = 1$ ，解得 $y = 2$ ，所以该方程组的唯一解为 $x = 3$ ， $y = 2$ 。对于三元一次方程组，每个方程表示空间中的一个平面，当三个平面相交于一点时，该点坐标就是方程组的唯一解。
无解：若方程组中存在矛盾的约束条件，就会导致方程组无解。比如方程组 $\begin{cases}x + y = 4\\x + y = 6\end{cases}$ ，两个方程对 $x + y$ 的取值要求相互矛盾，不可能同时成立，所以此方程组无解。从矩阵的秩的角度来看，当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。例如对于方程组 $\begin{cases}x + y = 2\\2x + 2y = 5\end{cases}$ ，其系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ ，秩为 $1$ ，增广矩阵 $\begin{pmatrix}1&1&2\\2&2&5\end{pmatrix}$ ，秩为 $2$ ，因为 $1 < 2$ ，所以该方程组无解。
无穷多解：当方程组的约束条件不足以唯一确定每个未知数的值时，就会有无穷多解。此时往往存在自由变量，其取值可以是任意实数，进而确定其他未知数的值。从几何角度看，对于二元一次方程组，当两个方程表示的直线重合时，直线上的每一个点都是方程组的解，所以有无穷多个解。例如方程组 $\begin{cases}2x + 4y = 6\\x + 2y = 3\end{cases}$ ，两个方程实际上表示同一条直线，所以有无穷多解。对于三元一次方程组，当三个平面相交于一条直线或重合时，方程组有无穷多解。

三、矩阵行的初等变换

（一）类型

矩阵的初等变换有三种重要类型：

倍乘变换：将矩阵的某一行（列）的所有元素乘以一个非零常数。设矩阵 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ ，若对第一行进行倍乘变换，乘以常数 $k(k\neq0)$ ，则得到新矩阵 $\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}&ka_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ 。例如，对于矩阵 $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$ ，将第二行乘以 $2$ ，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3\\8&10&12\\7&8&9\end{pmatrix}$ 。倍乘变换的作用在于可以调整某一行（列）元素的数值大小，以便在后续的矩阵化简过程中更好地实现目标形式。
倍加变换：将矩阵的某一行（列）的所有元素乘以一个常数后加到另一行（列）对应的元素上。对于上述矩阵 $A$ ，若将第一行乘以 $k$ 后加到第二行，则得到新矩阵 $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}+ka_{11}&a_{22}+ka_{12}&a_{23}+ka_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ 。比如，在矩阵 $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$ 中，将第一行乘以 $2$ 后加到第二行，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3\\6&9&12\\7&8&9\end{pmatrix}$ 。倍加变换常用于消除矩阵中的某些元素，使矩阵逐步化为行阶梯形或行最简型。
对换变换：交换矩阵的两行（列）。设矩阵 $A$ ，交换其第一行和第二行，得到新矩阵 $\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ 。例如，对于矩阵 $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$ ，交换第一行和第三行，得到 $\begin{pmatrix}7&8&9\\4&5&6\\1&2&3\end{pmatrix}$ 。对换变换可以改变矩阵行（列）的顺序，在矩阵化简过程中也经常用到。

（二）应用

在求解线性方程组时，矩阵初等变换起着关键作用。我们可以将线性方程组的系数和常数项组成增广矩阵，然后通过初等变换将其化简，从而更方便地分析方程组的解的情况以及求解未知数。例如，对于方程组 $\begin{cases}x + 2y + 3z = 6\\2x + 3y + z = 4\\3x + y + 2z = 7\end{cases}$ ，其增广矩阵为 $\begin{pmatrix}1&2&3&6\\2&3&1&4\\3&1&2&7\end{pmatrix}$ 。

首先，进行倍加变换，将第一行乘以 $- 2$ 加到第二行，第一行乘以 $- 3$ 加到第三行，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3&6\\0&-1&-5&-8\\0&-5&-7&-11\end{pmatrix}$ 。

然后，对第二行进行倍乘变换，乘以 $- 1$ ，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3&6\\0&1&5&8\\0&-5&-7&-11\end{pmatrix}$ 。

接着，再进行倍加变换，将第二行乘以 $5$ 加到第三行，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3&6\\0&1&5&8\\0&0&18&29\end{pmatrix}$ 。

继续进行倍乘变换，将第三行乘以 $\frac{1}{18}$ ，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3&6\\0&1&5&8\\0&0&1&\frac{29}{18}\end{pmatrix}$ 。

再通过回代的方式，逐步求出 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的值。

（三）与行列式对比

行列式和矩阵的初等变换有所不同。行列式是一个数值，其初等变换会改变行列式的值。例如，对行列式进行倍乘变换，若将行列式的某一行（列）乘以常数 $k$ ，则行列式的值变为原来的 $k$ 倍；进行倍加变换，行列式的值不变；进行对换变换，行列式的值变号。而矩阵的初等变换主要是为了化简矩阵，不改变矩阵所代表的线性方程组的本质解的情况。矩阵通过初等变换可以化为行阶梯形矩阵或行最简型矩阵，以便于分析方程组的解。

四、行阶梯形矩阵与行最简型矩阵

（一）行阶梯形矩阵

通过初等行变换可将矩阵化为行阶梯形。其特点是：

非零行的第一个非零元素（称为主元）的列标随着行标的增大而严格增大。例如矩阵 $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&5&6&7\\0&0&8&9\end{pmatrix}$ ，第一行主元 $1$ 在第一列，第二行主元 $5$ 在第二列，第三行主元 $8$ 在第三列，满足列标随着行标增大而严格增大。
主元所在列的其他元素为零。例如上述矩阵中，主元 $1$ 所在列的第二、三行元素为 $0$ ，主元 $5$ 所在列的第三行元素为 $0$ 。
所有元素全为零的行（如果存在）都在矩阵的最下方。

矩阵化为行阶梯形后，不影响原方程组的本质，同一方程组可以通过不同的行阶梯形矩阵表示，但它们都反映了方程组的解的信息。例如，对于方程组 $\begin{cases}x + 2y + 3z = 4\\2x + 4y + 6z = 8\\3x + 6y + 9z = 12\end{cases}$ ，其增广矩阵通过不同的初等行变换顺序可以得到不同形式的行阶梯形矩阵，但都能表明该方程组有无穷多解。

（二）行最简型矩阵

在行阶梯形矩阵的基础上，进一步进行自下而上的操作，使每个非零行的主元为 $1$ ，且主元所在列其余元素为零，就得到了行最简型矩阵。

例如，对于行阶梯形矩阵 $\begin{pmatrix}1&2&0&5\\0&0&1&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ ，要将其化为行最简型矩阵，先将第一行减去第二行乘以 $2$ ，得到 $\begin{pmatrix}1&2&0&5\\0&0&1&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ （这一步保持不变，因为第一行主元列已经符合要求），此时该矩阵就是行最简型矩阵。

行最简型矩阵在求解方程组时非常有用，因为它可以直接清晰地显示出方程组的解的结构。例如，对于上述行最简型矩阵对应的方程组 $\begin{cases}x + 2y = 5\\z = 3\end{cases}$ ，可以很容易地看出 $z$ 的值已经确定为 $3$ ， $x$ 可以用 $y$ 表示为 $x = 5 - 2 y$ ，如果 $y$ 是自由变量，那么就可以通过给定 $y$ 的任意值来确定 $x$ 的值，从而得到方程组的解。

五、方程组解的判定条件

（一）无解

当方程组经过化简后，出现零等于非零常数的矛盾等式时，方程组无解。从矩阵角度看，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解。例如方程组 $\begin{cases}x + y + z = 2\\2x + 2y + 2z = 5\\3x + 3y + 3z = 7\end{cases}$ ，其系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}$ ，对其进行初等行变换，将第二行减去第一行乘以 $2$ ，第三行减去第一行乘以 $3$ ，得到 $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ，秩为 $1$ 。增广矩阵 $\begin{pmatrix}1&1&1&2\\2&2&2&5\\3&3&3&7\end{pmatrix}$ ，同样进行初等行变换，得到 $\begin{pmatrix}1&1&1&2\\0&0&0&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ ，秩为 $2$ 。因为 $1 < 2$ ，所以该方程组无解。

（二）唯一解

系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且秩等于未知数的个数时，方程组有唯一解。此时可通过对增广矩阵进行行变换，化为行最简型矩阵，直接得出未知数的值。例如方程组 $\begin{cases}x - y = 1\\2x + y = 8\end{cases}$ ，其增广矩阵为 $\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&1&8\end{pmatrix}$ ，进行初等行变换，将第一行乘以 $- 2$ 加到第二行，得到 $\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&3&6\end{pmatrix}$ ，再将第二行乘以 $\frac{1}{3}$ ，得到 $\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ ，然后将第二行加到第一行，得到行最简型矩阵 $\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&2\end{pmatrix}$ ，所以方程组的唯一解为 $x = 3$ ， $y = 2$ 。

（三）无穷多解

当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且秩小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。此时需要确定自由变量，用自由变量表示主变量，形成向量形式来表示解。

例如，对于方程组 $\begin{cases}x + y + z = 3\\2x + 2y + 2z = 6\end{cases}$ ，其系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\end{pmatrix}$ ，经过初等行变换得到 $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ ，秩为 $1$ 。增广矩阵 $\begin{pmatrix}1&1&1&3\\2&2&2&6\end{pmatrix}$ ，同样变换后得到 $\begin{pmatrix}1&1&1&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ ，秩为 $1$ ，未知数个数为 $3$ ， $1 < 3$ ，所以方程组有无穷多解。

令 $z$ 为自由变量，设 $z = k$ （ $k$ 为任意常数），由第一个方程 $x + y + z = 3$ 可得 $x + y = 3 - k$ ，则 $x = 3 - k - y$ ，令 $y = t$ （ $t$ 为任意常数），那么 $x = 3 - k - t$ ，方程组的解可以表示为向量形式 $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 - k - t\\t\\k\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ ，其中 $t$ ， $k$ 为任意实数。

六、齐次线性方程组解情况

（一）性质

齐次线性方程组是指常数项全为零的线性方程组，例如 $\begin{cases}x + y + z = 0\\2x - y + 3z = 0\\3x + 2y - z = 0\end{cases}$ 。齐次线性方程组一定有解，因为至少有零解（即所有未知数都为 $0$ 的解）， $x = 0$ ， $y = 0$ ， $z = 0$ 显然满足上述方程组。

（二）解的分类

唯一解（零解）：当系数矩阵的秩等于未知数个数时，齐次线性方程组有唯一解，即零解。例如方程组 $\begin{cases}x + y = 0\\x - y = 0\end{cases}$ ，其系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ ，行列式 $\vert A\vert = 1\times(-1) - 1\times1 = -2\neq0$ ，所以秩为 $2$ ，未知数个数也为 $2$
无穷多解：当系数矩阵的秩小于未知数个数时，齐次线性方程组有无穷多解，其中包含零解。例如齐次线性方程组 $\begin{cases}x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0\end{cases}$ ，其系数矩阵 $\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\end{pmatrix}$ ，对其进行初等行变换，将第二行减去第一行的 $2$ 倍，得到 $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ ，秩为 $1$ ，而未知数个数是 $3$ ， $1 < 3$ ，所以该方程组有无穷多解。

令 $z = k$ ， $y = t$ （ $k, t$ 为任意实数），由第一个方程 $x + y + z = 0$ 可得 $x = - y - z = - t - k$ 。

则方程组的解可表示为向量形式 $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-t - k\\t\\k\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ ，这里 $t$ 和 $k$ 可以取任意实数，这意味着方程组存在无穷多个解，当 $t = k = 0$ 时，就是零解。

七、求解流程总结

（一）构建增广矩阵

拿到一个线性方程组后，首先将其系数和常数项按照一定的顺序排列，组成增广矩阵。例如对于方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m\end{cases}$ ，其增广矩阵为 $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\end{pmatrix}$ 。

（二）矩阵初等变换

利用矩阵的倍乘变换、倍加变换和对换变换这三种初等变换，将增广矩阵逐步化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简型矩阵。在进行变换时，要遵循一定的策略，通常是从左上角开始，先将第一列主元下方的元素化为 $0$ ，再处理第二列，以此类推。

例如，若第一行第一列的元素 $a_{11} \neq 0$ ，可以通过倍加变换将第二行第一列元素 $a_{21}$ 化为 $0$ （将第一行乘以 $-\frac{a_{21}}{a_{11}}$ 加到第二行），然后对第三行、第四行等做类似操作，使得第一列主元下方元素全为 $0$ 。接着处理第二列，若第二行第二列元素为新的主元且不为 $0$ ，继续用倍加变换将其下方元素化为 $0$ ，依此类推，直到得到行阶梯形矩阵。再通过适当的倍乘变换使主元都为 $1$ ，并利用倍加变换将主元所在列其余元素化为 $0$ ，得到行最简型矩阵。

（三）判断解的情况并求解

无解：若在化简过程中发现增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，即出现类似 $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ 这样的形式（第二行表示 $0 x + 0 y + 0 z = 1$ ，这是矛盾等式），则方程组无解。
唯一解：当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数时，从行最简型矩阵中可以直接读出未知数的值。例如行最简型矩阵 $\begin{pmatrix}1&0&0&a\\0&1&0&b\\0&0&1&c\end{pmatrix}$ ，则方程组的解为 $x_1 = a$ ， $x_2 = b$ ， $x_3 = c$ 。
无穷多解：若系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，但小于未知数的个数，需要确定自由变量。自由变量的个数等于未知数的个数减去系数矩阵的秩。然后用自由变量表示主变量，将解表示为向量形式。例如，若确定 $x_3$ 和 $x_4$ 为自由变量，设 $x_3 = s$ ， $x_4 = t$ （ $s, t$ 为任意实数），通过行最简型矩阵中方程的关系得到 $x_1$ 和 $x_2$ 关于 $s$ 和 $t$ 的表达式，最终将解写成 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(s,t)\\g(s,t)\\s\\t\end{pmatrix}$ 的向量形式，其中 $f (s, t)$ 和 $g (s, t)$ 是关于 $s$ 和 $t$ 的表达式。

八、实际应用案例

（一）电路分析

在电路分析中，经常会遇到求解线性方程组的问题。例如，一个包含多个电阻、电源的复杂电路，根据基尔霍夫定律可以列出一系列线性方程组。假设一个电路中有三个回路，根据基尔霍夫电压定律（KVL）列出如下方程组：
$\begin{cases}R_1I_1 + R_2I_2 - E_1 = 0 \\ -R_2I_2 + R_3I_3 + E_2 = 0 \\ -R_1I_1 - R_3I_3 + E_1 - E_2 = 0\end{cases}$
其中 $R_1,R_2,R_3$ 是电阻值， $E_1,E_2$ 是电源电动势， $I_1,I_2,I_3$ 是回路电流。将其系数和常数项组成增广矩阵，通过矩阵初等变换求解该方程组，就可以得到各个回路的电流值，从而对电路的工作状态进行分析。

（二）经济投入 - 产出模型

在经济学的投入 - 产出模型中，用于描述各个产业部门之间的相互依存关系。假设一个经济系统由三个产业部门组成，分别为农业、工业和服务业。每个部门在生产过程中需要消耗其他部门的产品作为投入，同时也向其他部门提供产品作为产出。根据投入 - 产出的关系可以建立如下线性方程组：
$\begin{cases}x_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + y_1 \\ x_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + y_2 \\ x_3 = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + y_3\end{cases}$
其中 $x_1,x_2,x_3$ 分别表示农业、工业和服务业的总产出， $a_{ij}$ 表示第 $j$ 部门生产单位产品对第 $i$ 部门产品的直接消耗系数， $y_1,y_2,y_3$ 分别表示三个部门的最终需求。通过将其转化为矩阵形式并求解，可以分析各个产业部门的生产规模和相互之间的供应关系，为制定经济政策和规划提供依据。