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【漫话机器学习系列】084.偏差和方差的权衡（Bias-Variance Tradeoff）

article 2025/2/10 23:10:10

偏差和方差的权衡（Bias-Variance Tradeoff）

1. 引言

在机器学习模型的训练过程中，我们常常面临一个重要的挑战：如何平衡 偏差（Bias） 和 方差（Variance），以提升模型的泛化能力。偏差-方差权衡（Bias-Variance Tradeoff）描述了模型在复杂度上的取舍，过高的偏差可能导致欠拟合，而过高的方差可能导致过拟合。理解这个概念对于构建高效的机器学习模型至关重要。

2. 偏差-方差分解

如图所示，误差（Error） 由三部分组成：

$Error(x) = (E[\hat{f}(x)] - f(x))^2 + E[\hat{f}(x) - E[\hat{f}(x)]]^2 + \sigma_\epsilon^2$

第一部分：偏差²（Bias²）
公式中的 $(E[\hat{f}(x)] - f(x))^2$ 代表 预测值的期望 与 真实值 之间的偏差。它衡量的是模型的系统性误差，即模型的预测能力是否准确。
- 高偏差 表示模型欠拟合（Underfitting），即模型过于简单，无法捕捉数据的真实分布。
- 低偏差 表示模型较好地学习了数据的主要模式。
第二部分：方差（Variance）
公式中的 $E[\hat{f}(x) - E[\hat{f}(x)]]^2$ 代表的是 模型预测值的波动程度，即对于相同的输入，模型在不同训练数据集上的预测值变化程度。
- 高方差 表示模型对训练数据非常敏感，容易受噪声影响，导致过拟合（Overfitting）。
- 低方差 表示模型较为稳定，泛化能力较好。
第三部分：不可约误差（Irreducible Error）
公式中的 $\sigma_\epsilon^2$ 代表的是数据本身的噪声，即即使我们拥有最完美的模型，也无法减少的误差。

3. 偏差-方差权衡

偏差和方差通常是相互制约的：

如果模型过于简单（高偏差、低方差）：
- 训练误差和测试误差都较高，说明模型无法很好地拟合数据。
- 例如：使用线性回归拟合一个非线性数据集。
如果模型过于复杂（低偏差、高方差）：
- 训练误差很低，但测试误差很高，说明模型过度拟合训练数据，无法泛化到新数据。
- 例如：使用深度神经网络但数据量不足，导致模型记住了训练数据但无法泛化。

解决方案：