[高等数学]不定积分的概念与性质

一、知识点

（一）原函数与不定积分的概念

定义1（原函数）

如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$，即对任一 $x\in I$，都有 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 或 $dF(x)=f(x)dx$，那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$（或 $f(x)dx$）在区间 $I$ 上的原函数。

原函数存在定理

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么在区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$，使对任一 $x\in I$ 都有 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

简单说：连续函数一定有原函数。

定义2（不定积分）

在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$（或 $f(x)dx$）在区间 $I$ 上的不定积分，记作 $\int f(x)dx$.

其中记号 $\int$ 称为积分号，$f(x)$ 称为被积函数，$f(x)dx$ 称为被积表达式，$x$ 称为基本变量。

（二）基本积分表

1. $\int kdx=kx+C$ （ $k$ 是常数）
2. $\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C,\mu \ne -1$
3. $\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C$
4. $\int \frac{dx}{1+x^2}=arctanx+C$
5. $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsinx+C$
6. $\int cosxdx=sinx+C$
7. $\int sinxdx=-cosx+C$
8. $\int \frac{dx}{co{s}^{2}x}=\int se{c}^{2}xdx=tanx+C$
9. $\int \frac{dx}{si{n}^{2}x}=\int cs{c}^{2}xdx=-cotx+C$
10. $\int secxtanxdx=secx+C$
11. $\int cscxcotxdx=-cscx+C$
12. $\int e^{x}dx=e^x+C$
13. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C$
14. $\int shxdx=chx+C$
15. $\int chxdx=shx+C$
16. $\int tanxdx=-ln|cosx|+C$
17. $\int cotxdx=ln|sinx|+C$
18. $\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$
19. $\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C$
20. $\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$
21. $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
22. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}{a}+C$
23. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
24. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$

（三）不定积分的性质

性质1

设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在，则 $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$。

性质2

设函数 $f(x)$ 的原函数存在，$k$ 为非零常数，则 $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$。

二、练习题

1.利用求导运算验证：$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=ln(x+\sqrt{x^2+1})+C$

解：

$\frac{d[ln(x+\sqrt{x^2+1})+C]}{dx}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

2.求不定积分：$\int \frac{dx}{x^2}$

解：

根据基本积分表公式：$\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C,\mu \ne -1$

$\int \frac{dx}{x^2}=\int x^{-2}dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=-\frac{1}{x}+C$

3.含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程 $\frac{dy}{dx}=f(x)$，其中，$\frac{dy}{dx}$ 为未知函数的导数，$f(x)$ 为已知函数。如果将函数 $y=\phi (x)$ 代入微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数 $y=\phi (x)$ 就称为这微分方程的解。求下列微分方程满足所给条件的解：
(1) $\frac{dy}{dx}=(x-2{)}^2,y{|}_{x=2}=0$
(2) $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{2}{t^3},\frac{dx}{dt}{|}_{t=1}=1,x{|}_{t=1}=1$

解(1)：

$y=\int (x-2{)}^{2}dx=\frac{1}{3}(x-2{)}^3+C$

由 $y{|}_{x=2}=0$ 得 $C=0$

$\therefore$ 解为 $y=\frac{1}{3}(x-2{)}^3$

解(2)：

$\frac{dx}{dt}=\int \frac{2}{t^3}dt=-\frac{1}{t^2}+C1$

由 $\frac{dx}{dt}{|}_{t=1}=1$ 得 $C_1=2$

$\therefore \frac{dx}{dt}=-\frac{1}{t^2}+2$

$\therefore x=\int (-\frac{1}{t^2}+2)dt=\frac{1}{t}+2t+C_2$

由 $x{|}_{t=1}=1$ 得 $C_2=-2$

$\therefore$ 解为 $x=frac1t+2t-2$

4.汽车以 $20m/s$ 的速度行驶，刹车后匀减速行驶了 $50m$ 停住，求刹车加速度。可执行下列步骤：
(1) 求微分方程 $\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=-k$ 满足条件 $\frac{ds}{dt}{|}_{t=0}=20$ 及 $s{|}_{t=0}=0$ 的解；
(2) 求使 $\frac{ds}{dt}=0$ 的 $t$ 值及相应的 $s$ 的值；
(3) 求使 $s=50$ 的 $k$ 值。

解(1)：

$\frac{ds}{dt}=\int \frac{d^{2}s}{d{t}^2}dt=\int -kdt=-kt+C_1$

$\because \frac{ds}{dt}{|}_{t=0}=20$

$\therefore C_1=20$

$\therefore \frac{ds}{dt}=-kt+20$

$\therefore s=\int (-kt+20)dt=-\frac{1}{2}k{t}^2+20t+C_2$

$\because s{|}_{t=0}=0$

$\therefore C_2=0$

$\therefore s=-\frac{1}{2}k{t}^2+20t$

解(2)：

$\because \frac{ds}{dt}=-kt+20=0$

$\therefore t=\frac{20}{k}$

$\therefore s=\frac{200}{k}$

解(3)：

$\because s=\frac{200}{k}$

$\therefore$ 当 $k=4$ 时，$s=50$.

5.一曲线通过点 $(e^2,3)$，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。

解：

令曲线的函数为 $y=f(x)$

令任一点的坐标为 $(x,y)$

$\because$ 曲线任一点处的斜率等于该点横坐标的倒数

$\therefore f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

$\therefore f(x)=\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$

$\because$ 曲线通过点 $(e^2,3)$

$\therefore ln{e}^2+C=3$

$\therefore C=1$

$\therefore$ 曲线的方程为 $y=ln|x|+1$.

6.一物体由静止开始运动，经 $t(s)$ 后的速度是 $3t^2(m/s)$，问
(1) 在 $3s$ 后物体离开出发点的距离是多少？
(2) 物体走完 $360m$ 需要多少时间？

解(1):

令位移函数为 $s=s(t)$

则 $s^{\prime }(t)=v(t)=3t^2$

$\therefore s(t)=\int 3t^{2}dt=t^3+C$

$\because s(0)=0^3+C=0$

$\therefore C=0$

$\therefore s(t)=t^3$

$\therefore 3s$ 后物体离开出发点的距离是 $s(3)=3^3=27m$.

解(2)：

$\because t^3=360$

$\therefore t=\sqrt[3]{360}\approx 7.11s$.

7.证明函数 $arcsin(2x-1)$，$arccos(1-2x)$ 和 $2arctan\sqrt{\frac{x}{1-x}}$ 都是 $\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$ 的原函数。

证明：

$[arcsin(2x-1){]}^{\prime }=\frac{2}{\sqrt{1-(2x-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$

$[arcsin(1-2x){]}^{\prime }=-\frac{-2}{\sqrt{1-(1-2x{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$

$(2arctan\sqrt{\frac{x}{1-x}}{)}^{\prime }=2\cdot \frac{1}{1+\frac{x}{1-x}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{x}}\cdot \frac{1}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$

$\therefore$ 命题得证.

学习资料：《高等数学（第六版）》 ，同济大学数学系 编

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