证明: 极限的局部有界性
在考研数学中，极限的局部有界性是一个非常重要的概念，尤其是在讨论函数的连续性、可积性和可微性等性质时。局部有界性可以帮助我们理解函数在某些区域内的行为。
定理：
如果
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
L
\lim_{x \to x_0} f(x) = L
limx→x0f(x)=L，则存在一个邻域
U
U
U（即包含点
x
0
x_0
x0 的开区间），使得对于
x
∈
U
x \in U
x∈U，有
∣
f
(
x
)
∣
|f(x)|
∣f(x)∣ 被某个常数
M
M
M 约束。换句话说，函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在点
x
0
x_0
x0 附近是局部有界的。
证明
假设 lim x → x 0 f ( x ) = L \lim_{x \to x_0} f(x) = L limx→x0f(x)=L，根据极限的定义，对于任意的 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，存在一个 δ > 0 \delta > 0 δ>0，使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0 < |x - x_0| < \delta 0<∣x−x0∣<δ 时， ∣ f ( x ) − L ∣ < ϵ |f(x) - L| < \epsilon ∣f(x)−L∣<ϵ。
这意味着，针对任意的
ϵ
\epsilon
ϵ，在
x
0
x_0
x0 的某个邻域内，函数值
f
(
x
)
f(x)
f(x) 将无限接近于
L
L
L，并且满足：
∣
f
(
x
)
−
L
∣
<
ϵ
|f(x) - L| < \epsilon
∣f(x)−L∣<ϵ
不难推出： ∣ f ( x ) ∣ = ∣ f ( x ) − L + L ∣ ≤ ∣ f ( x ) − L ∣ + ∣ L ∣ |f(x)| = |f(x) - L + L| \leq |f(x) - L| + |L| ∣f(x)∣=∣f(x)−L+L∣≤∣f(x)−L∣+∣L∣
因此，选择 ϵ = 1 \epsilon = 1 ϵ=1，我们得到： ∣ f ( x ) ∣ ≤ 1 + ∣ L ∣ |f(x)| \leq 1 + |L| ∣f(x)∣≤1+∣L∣
也就是说，在距离 x 0 x_0 x0 足够近的区域（即当 ∣ x − x 0 ∣ < δ |x - x_0| < \delta ∣x−x0∣<δ 时）， ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣ 的上界是 1 + ∣ L ∣ 1 + |L| 1+∣L∣。
因此，函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在点
x
0
x_0
x0 附近是局部有界的，即存在一个常数
M
=
1
+
∣
L
∣
M = 1 + |L|
M=1+∣L∣，使得在该邻域内，对于所有的
x
x
x，都有：
∣
f
(
x
)
∣
≤
M
|f(x)| \leq M
∣f(x)∣≤M
结论：
如果
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
L
\lim_{x \to x_0} f(x) = L
limx→x0f(x)=L，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在点
x
0
x_0
x0 的某个邻域内是局部有界的。这意味着函数在该邻域内不会变得无穷大，而是存在一个常数上界，进一步增强了我们对函数行为的理解。