跟着李沐老师学习深度学习（七）

权重衰退 + 丢弃法

权重衰退（Weight Decay）

回忆：如何控制一个模型的容量（方法1：把模型变得比较小；方法2：使得模型参数的选择范围比较小）
是一种正则化模型的技术；

使用均方范数作为硬性限制

• 通过限制参数值的选择范围来控制模型的容量
  
  （最小化损失的时候，限制权重向量 w 的范数平方不能超过 θ）
  • 通常不限制偏移b（限不限制都差不多）
  • 小的 θ 意味着更强的正则项

  • 直观解释理解： θ 确实是把w限制在一个范围里面，但实际上使用以下的柔性限制。

使用均方范数作为柔性限制

• 对每个 θ ，都可以找到 λ 使得之前的目标函数等价于下面：
  
  • 可以通过拉格朗日乘子来证明
• 超参数λ控制了正则项的重要程度
  • λ = 0：无作用
  • λ → ∞，w* → 0

对最优解的影响：

理解：橙色是惩罚项：lamda/2*||w||平方的图像，绿色是原来损失函数的图像；曲线代表损失函数，有几个圈就是对不同的w来说，一个圈对应一个参数，最中间的点是参数的最优解。
大概应该就是：新的损失函数由两项组成，此时求导后，梯度有两项了，一项将w向绿线中心拉，一项将w向原点拉进，最后将在w*点达到一个平衡

• 参数更新法则

• 计算梯度
  

• 时间 t 更新参数
  

  • 通常 nλ<1，在深度学习中通常叫做权重衰退
  • 主要变化：先把当前的值 缩小再 沿着负梯度方向学习

总结

• 权重衰退通过L2 正则项使得模型参数不会过大，从而控制模型复杂度
• 正则项权重是控制模型复杂度的超参数。

代码实现- 从零实现

# 权重衰退

# 像之前一样 导入相关包
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

# 像以前一样生成一些数据：
# ![image.png](attachment:image.png)

# 将训练数据设置的很小（当训练数据比较少的时候容易 过拟合）
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5

true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
# 生成一个数据集
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

# 从零开始实现

#下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将 𝐿2 的平方惩罚添加到原始目标函数中

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

# 定义L2范数惩罚
# 实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和
def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

# 定义训练代码实现：
def train(lambd):
    w,b = init_params()
    # 定义了一个线性回归模型，
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                           xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项
            # 广播机制使 l2_penalty(w) 成为了长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w) # 唯一的区别
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
            
        print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

# 忽略正则化进行训练
train(lambd = 0)
# 这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

# 使用权重衰退进行 训练
train(lambd=3)
# 这里 训练误差增大，但测试误差减小；

忽略正则化得到的结果：

当没有进行正则化的时候，训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

使用权重衰退得到的结果：

可以看出：过拟合有一定的缓解；可能经过多次迭代会得到更好的效果；
也可以进行将lambd调整更大一些，效果会更好；（或者增加迭代次数）

代码- 简洁实现

# 简洁实现
def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params": net[0].weight, 'weight_decay': wd},
        {"params": net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                        (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                        (d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss))))
            
    print('w的L2范数是：', net[0].weight.norm().item())

• 训练：不加权重衰退 train_concise(0)
  

• 加权重衰退 train_concise(3)

由以上结果可以看到结果和之前是差不多的。

丢弃法（dropout）

动机

• 一个好的模型需要对输入数据的扰动鲁棒
  • 使用噪音的数据等价于Tikhonov 正则
  • 丢弃法：在层之间加入噪音
    （输入数据加入随机扰动可以防止过拟合，泛化性更好，等价于一种正则方法。现在对噪音的添加方式从输入位置放到了层间位置）

无偏差的加入噪音

• 对x加入噪音得到x’， 我们希望（不改变期望）：
  

• 丢弃法对每个元素进行如下扰动：（给定一个概率p）
  

为什么要出一个1-p: 对向量的每个元素操作，每个元素都有p的概率变为0，又有1-p的概率变成它的1/(1-p)，这样才能保持期望不变

使用丢弃法

• 通常将丢弃法作用在隐藏全连接层的输出上
  

推理中的丢弃法

• 正则项只在训练中使用：他们影响模型参数的更新
• 在推理中，丢弃法直接返回输入：
  
  • 这样保证确定性的输出

比较正则化的实验结果，因此丢弃法可看作是正则化方法；

总结

• 丢弃法将一些输出项随机置0来控制模型复杂度
• 常作用在多层感知机的隐藏层输出上
• 丢弃概率是控制模型复杂度的超参数

代码实现

# Dropout

import torch 
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def dropout_layer(X, dropout):
    assert 0 <= dropout <= 1
     # 在本情况中，所有元素都被丢弃
    if dropout == 1:
        return torch.zeros_like(X)
     # 在本情况中，所有元素都被保留
    if dropout == 0:
        return X
    
    mask = (torch.randn(X.shape) > dropout).float()
    # mask 是一个与输入张量 X 形状相同的浮点类型张量，其中元素的值要么是 1.0，要么是 0.0
    return mask * X / (1.0 - dropout)

# 测试dropout_layer函数
X= torch.arange(16, dtype = torch.float32).reshape((2, 8))
print(X)
print(dropout_layer(X, 0.))
print(dropout_layer(X, 0.5))
print(dropout_layer(X, 1.))

# 定义模型参数

num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2 = 784, 10, 256, 256

# 将暂退法应用于每个隐藏层的输出（在激活函数之后）， 并且可以为每一层分别设置暂退概率：
# 常见的技巧是在靠近输入层的地方设置较低的暂退概率。 

dropout1, dropout2 = 0.2, 0.5

class Net(nn.Module):
    def __init__(self, num_inputs, num_outputs, num_hiddend1, num_hiddens2,
                 is_training=True):
        super(Net, self).__init__()
        
        self.num_inputs = num_inputs
        self.training = is_training
        self.lin1 = nn.Linear(num_inputs, num_hiddens1)
        self.lin2 = nn.Linear(num_hiddens1, num_hiddens2)
        self.lin3 = nn.Linear(num_hiddens2, num_outputs)
        self.relu = nn.ReLU()
        
    def forward(self, X):
        H1 = self.relu(self.lin1(X.reshape((-1, self.num_inputs))))
        # 只有在训练模型的时候才使用dropout
        
        if self.training == True:
            # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
            H1 = dropout_layer(H1, dropout1)
        H2 = self.relu(self.lin2(H1))
        if self.training == True:
            # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
            H2 = dropout_layer(H2, dropout2)
            
        out = self.lin3(H2)
        return out
    
net = Net(num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2)

# 训练和测试
# 相当于之前的多层感知机的训练：
num_epochs, lr, batch_size = 10, 0.5, 256
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

• 结果：
  

• 使用 dropout 都是0 的情况：
  

代码-简洁实现

# 简洁实现
# 只需在每个全连接层之后添加一个Dropout层， 将暂退概率作为唯一的参数传递给它的构造函数。

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
                    nn.Linear(784, 256),
                    nn.ReLU(),
                    # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
                    nn.Dropout(dropout1),
                    nn.Linear(256, 256),
                    nn.ReLU(),
                    # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
                    nn.Dropout(dropout2),
                    nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
        
net.apply(init_weights);


# 训练和测试
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

总结：dropout主要是针对过拟合问题的，这个模型没有过拟合所以没必要简化模型。