常用共轭先验分布
内容来源
贝叶斯统计（第二版）中国统计出版社
正态分布的均值
总体分布 N ( θ , σ 2 ) N(\theta,\sigma^2) N(θ,σ2)
先验分布为正态分布 N ( μ , τ 2 ) N(\mu,\tau^2) N(μ,τ2)
样本 x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) x_i(i=1,2,\cdots,n) xi(i=1,2,⋯,n)
后验分布为
N ( x ‾ n σ 2 + μ τ − 2 n σ 2 + τ − 2 , τ 2 σ 2 n τ 2 + σ 2 n ) N\left(\frac{\overline{x}\frac{n}{\sigma^2}+\mu\tau^{-2}} {\frac{n}{\sigma^2}+\tau^{-2}}, \frac{\tau^2\frac{\sigma^2}{n}}{\tau^2+\frac{\sigma^2}{n}} \right) N(σ2n+τ−2xσ2n+μτ−2,τ2+nσ2τ2nσ2)
正态分布的方差
总体分布 N ( θ , σ 2 ) N(\theta,\sigma^2) N(θ,σ2)
先验分布为倒伽玛分布 I G a ( α , λ ) IGa(\alpha,\lambda) IGa(α,λ)
样本 x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) x_i(i=1,2,\cdots,n) xi(i=1,2,⋯,n)
后验分布为
I G a ( α + n 2 , λ + 1 2 ∑ i = 1 n ( x i − θ ) 2 ) IGa\left(\alpha+\frac{n}{2},\lambda+\frac{1}{2}\sum^n_{i=1}(x_i-\theta)^2\right) IGa(α+2n,λ+21i=1∑n(xi−θ)2)
二项分布的成功概率
总体分布 b ( n , θ ) b(n,\theta) b(n,θ)
先验分布为贝塔分布 B e ( α , β ) Be(\alpha,\beta) Be(α,β)
样本 x x x
后验分布为
B e ( α + x , β + n − x ) Be(\alpha+x,\beta+n-x) Be(α+x,β+n−x)
泊松分布的均值
总体分布 P ( λ ) P(\lambda) P(λ)
先验分布为伽马分布 Γ ( α , β ) \Gamma(\alpha,\beta) Γ(α,β)
样本 x x x
后验分布为
Γ ( α + x , β ( β + 1 ) ) \Gamma\left(\alpha+x,\frac{\beta}{(\beta+1)}\right) Γ(α+x,(β+1)β)
指数分布均值的倒数
总体分布 E x p ( λ ) Exp(\lambda) Exp(λ)
先验分布为伽马分布 Γ ( α , β ) \Gamma(\alpha,\beta) Γ(α,β)
样本 x x x
Γ ( α + 1 , β 1 + x β ) \Gamma\left(\alpha+1,\frac{\beta}{1+x\beta}\right) Γ(α+1,1+xββ)