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数学建模与MATLAB实现：数据拟合全解析

article 2025/2/24 12:02:35

引言

数据拟合是数学建模与实验分析中的核心任务，旨在通过数学模型逼近实际观测数据，揭示变量间的潜在规律。本文基于最小二乘法的理论框架，结合MATLAB代码实战，系统讲解线性拟合、非线性拟合的实现方法，并通过电阻温度预测、血药浓度分析等案例，帮助读者掌握从数据预处理到模型优化的全流程技能。

一、拟合基础理论

1. 拟合与插值的区别

插值：要求曲线通过所有数据点，适合精确重建已知数据。
拟合：不要求曲线经过所有点，旨在反映整体趋势，适合噪声数据或预测。

2. 最小二乘法原理

目标：最小化观测数据与模型预测值的残差平方和。
数学形式：
$J(a_1, a_2, \dots, a_m) = \sum_{i=1}^n \left( y_i - f(x_i) \right)^2$
其中 $a_1 r_1(x) + a_2 r_2(x) + \dots + a_m r_m(x)$ 为拟合函数。

线性最小二乘法：
当 $f (x)$ 是待定系数的线性组合时，可通过解超定方程组 $R a = y$ 的最小二乘解实现：
$a = (R^T R)^{-1} R^T y$

二、MATLAB拟合函数详解

1. 线性拟合：`polyfit`

功能：多项式拟合，返回多项式系数。
语法：

p = polyfit(x, y, m);   % m为多项式次数
y_fit = polyval(p, x);  % 计算拟合值

示例：电阻-温度关系拟合

x = 0:0.1:1;  
y = [-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2];  
p = polyfit(x, y, 2);   % 二次多项式拟合  
y_fit = polyval(p, x);  
plot(x, y, 'ko', x, y_fit, 'r-');  
xlabel('温度'); ylabel('电阻');

结果：二次多项式 $R(t) = -9.81t^2 + 20.13t - 0.03$ 拟合效果最佳。

2. 非线性拟合：`lsqcurvefit`

功能：求解非线性最小二乘问题，需自定义模型函数。
语法：

x = lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata);

示例：血药浓度动力学模型

定义模型函数（保存为 curvefun1.m）：

function f = curvefun1(x, tdata)  
    f = x(1) + x(2) * exp(-0.02 * x(3) * tdata);  % x(1)=a, x(2)=b, x(3)=k  
end

拟合与结果：

tdata = 100:100:1000;  
cdata = 1e-3 * [4.54, 4.99, 5.35, 5.65, 5.90, 6.10, 6.26, 6.39, 6.50, 6.59];  
x0 = [0.2, 0.05, 0.05];  
x = lsqcurvefit(@curvefun1, x0, tdata, cdata);  
disp(['a=', num2str(x(1)), ', b=', num2str(x(2)), ', k=', num2str(x(3))]);

输出： $a = 0.0063, b = - 0.0034, k = 0.2542$ ，拟合曲线符合一室药代动力学模型。

三、实战案例解析

案例1：水塔流量估计

目标：根据水位记录数据，估计水塔流量及日总用水量。

步骤：

分段拟合水位-时间曲线

第1时段（0_{8.97小时）和第2时段（10.95}20.84小时）用3次多项式拟合。

% 第1时段拟合  
t1 = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];  
h1 = [968, 948, 931, 913, 898, 881, 869, 850, 834, 822];  
p1 = polyfit(t1, h1, 3);

第2时段类似操作。

计算流量

流量为水位函数的导数。

dp1 = polyder(p1);  
flow1 = -polyval(dp1, t1);  % 流量取负值

估计总用水量

对各时段流量积分并求和。

total_flow = trapz(t1, flow1) + trapz(t2, flow2);  
disp(['日总用水量：', num2str(total_flow), '立方米']);

结果：日总用水量约为1250.4立方米。

案例2：药物给药方案设计

背景：根据血药浓度数据设计给药剂量与间隔，确保浓度在安全范围内。
步骤：

拟合血药浓度模型
- 使用非线性拟合确定药代动力学参数 $k$ 和 $V$ 。
计算给药方案
- 首次剂量 $D_0 = \frac{c_2 V}{e^{-k \tau}}$ ，维持剂量 $D = D_0 - c_1 V$ 。
```
k = 0.2347;  
V = 15.02;  
tau = 4;  % 给药间隔  
D0 = 25 * V / exp(-k * tau);  
D = D0 - 10 * V;  
```

结果：首次注射375mg，后续每次225mg，间隔4小时。

四、拟合方法对比与MATLAB实现

方法	适用场景	MATLAB函数	核心代码示例
线性最小二乘	多项式、线性组合模型	`polyfit`	`p = polyfit(x, y, 2);`
非线性最小二乘	指数、对数等复杂模型	`lsqcurvefit`	`x = lsqcurvefit(@fun, x0, tdata, ydata);`
分段拟合	非连续或趋势变化数据	多次调用`polyfit`	`p1 = polyfit(t1, y1, 3);`